2014届南京市高三数学综合题及答案.doc

PAGE PAGE 4 南京市2014届高三数学综合题 一、填空题 1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，eq \F(π,2)]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为　　　　　　　　． 【答案】{eq \F(1,3)，eq \F(2,3)，1}． 【提示】由题意知，eq \b\lc\{(\a\al(eq \F(π,2ω)≥eq \F(π,2)，,3ωπ＝kπ，))即eq \b\lc\{(\a\al(0＜ω≤1, ω＝eq \F( k,3)))，其中k eq \o(\s\up1(),∈)Z，则k＝eq \F(1,3)或k＝eq \F(2,3) 或k＝1． 【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若eq \o(AC,\d\fo1()\s\up7(→))·eq \o(BD,\d\fo1()\s\up7(→))＝－12，则eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))·eq \o(BC,\d\fo1()\s\up7(→))＝　　　　． DABC【答案 D A B C 【提示】以eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))，eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))为基底，则eq \o(AC,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))＋eq \F(1,3)eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))，eq \o(BD,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))－eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))， 则eq \o(AC,\d\fo1()\s\up7(→))·eq \o(BD,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))2－eq \F(2,3)eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))·eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))－eq \F(1,3)eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))2＝4－8cos∠BAD－12＝－12， 所以cos∠BAD＝eq \F(1,2)，则∠BAD＝60o， 则eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))·eq \o(BC,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))·(eq \o(AC,\d\fo1()\s\up7(→))－eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→)))＝eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))·(eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))－eq \F(2,3)eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→)))＝eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))2－eq \F(2,3)eq \o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))·eq \o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))＝4－4＝0． 【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择． 3．设α 、β为空间任意两个不重合的平面，则： ①必存在直线l与两平面α 、β均平行； ②必存在直线l与两平面α 、β均垂直； ③必存在平面γ与两平面α 、β均平行； ④必存在平面γ与两平面α 、β均垂直． 其中正确的是___________．（填写正确命题序号） 【答案】①④． 【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）． 【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力． 4．圆锥的侧面展开图是圆心角为 eq \r(3)π，面积为2 eq \r(3)π的扇形，则圆锥的体积是______． 【答案】π． 【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知eq \F(2πr,l)＝ eq \r(3)π，且eq \F(1,2)·2πr·l＝2 eq \r(3)π，解得l＝2，r＝ eq \r(3)，所以圆锥高h＝1，则体积V＝eq \F(1,3)πr2h＝π． 【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算． 5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________． 【答案】x＋y－2＝0． 【说明