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2010-2011冬季学期现代控制理论Matlab程序设计作业 PAGE 11 Matlab程序设计作业 刘玉山 （上海大学 机电工程学院，上海200072） 一、小车倒立摆的控制 1、数学模型的建立 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：2l=1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2 摆杆的质量在摆杆的中心。 对小车和摆杆进行受力分析，如图所示 根据受力分析图和牛顿第二定律，可得线性化模型 定义状态变量 并取，则有状态方程 其中则状态方程变为 其中 2、能控性，能观性及稳定性分析 对直线一级倒立摆系统线性状态方程，根据可控性及可观性判据得到 所以系统是能控也是能观的。 直线一级倒立摆系统的特征方程为，经过计算得到系统的特征根为: 0，0，4.6904， -4.6904系统有一个极点在右半平面上，因此系统是不稳定的。 3、设计状态反馈阵 倒立摆系统可利用极点配置方法进行设计，实际是在前向通道引入一积分器，对输出y也即小车位置进行积累作用，如图所示 由此可得 记 由上式可得到 其中 所以 4、时间响应图 5、附录：Matlab程序 特性分析： A=[0 1 0 0 22 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0] B=[0 -2 0 1] C=eye(4) D=zeros(4,1) [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) p=roots(den) n=size(p) n1=n(1) flag1=0 flag2=0 for i=1:n1 var1=p(i,1) var2=real(p(i,1)) if real(p(i,1))0 flag1=flag1+1 else if abs(real(p(i,1))-0)eps flag2=flag2+1 end end end if flag10 disp(系统不稳定) else if flag20 disp(系统临界稳定) else disp(系统稳定) end end S=ctrb(A,B) %系统的可控性矩阵 r1=rank(S) %求秩 l1=length(A) if r1==l1 str=系统是完全可控的 else str=系统是不完全可控的 end V=obsv(A,C) %系统可观性矩阵 r=rank(V) %求秩 l=size(A,1) if r==l strl=系统是完全可观的 else strl=系统是不完全可观的 end 时间响应图： %不含积分环节的伺服系统，对小车倒立摆的控制 % % ExP130 % 系统模型 a=[0 1 0 0;20.601 0 0 0; 0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0;-1;0;0.5]; c=[0 0 1 0]; d=[0]; a1=[a zeros(4,1);-c 0]; b1=[b;0]; % 系统可控性检查 disp(The rank of controllability matrix) rc=rank(ctrb(a1,b1)) % 设计 p=[-1+sqrt(3)*i -1-sqrt(3)*i -5 -5 -5]; k=acker(a1,b1,p) % 系统阶跃响应输出 k1=k(1:4) ki=-k(5) ac=[a-b*k1 b*ki;-c 0]; bc=[0 0 0 0 1]; cc=[c 0]; dc=[0]; figure(1) v=[0 5 -0.4 1.4]; step(ac,bc,cc,dc) axis(v) title(倒立摆系统输出单位阶跃响应) xlabel(秒) ylabel(输出 y=x3 ) text(1.5,0.6,响应曲线) figure(2) [y,x,t]=step(ac,bc,cc,dc); plot(t,x) axis(v) title(x1,x2,x3,x4,x5 响应曲线) xlabel(秒) ylabel(x1,x2,x3,x4,x5) text(1.2,0.05,x1) text(1.2,-0.33,x2) text(4.5,0.9,x3) text (2.2,0.25,x4) text(4.5,1.15,x5) 二、两轮自平衡小车的控制器设计 1、数学模型的建立 两轮自平衡小车系统的组成如下图所示 我们将左右轮子电机的输入恒为常值，此时