高中数学线性规划类型及策略.doc

高中数学线性规划类型及策略 线性规划作为直线方程的一个简单应用，在高考中受到越来越多的重视。它出题的形式越来越灵活，并且线性规划与其他知识进行交叉融合，它不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形结合思想，转化与化归思想，而且还能体现了学生的综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，此知识点越来越受到出题者的青睐。纵观近几年的试题，对线性规划问题的类型及策略做一些探讨。 线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 例1. 设x，y满足约束条件求的最大值、最小值。 解析 如图作出可行域，目标函数表示直线在y轴上的截距，可见当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0，0）时，截距值最小。 二, 非线性目标函数问题的解法 当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种： 比值问题 当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 例2 已知变量x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\al(x－y＋2≤0，,x≥1，,x＋y－7≤0，))则 eq \f(y,x) 的取值范围是（ ）. （A）[ eq \f(9,5)，6] （B）（－∞， eq \f(9,5)]∪[6，＋∞） （C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] 解析 eq \f(y,x)是可行域内的点M（x，y）与原点O （0，0）连线的斜率，当直线OM过点（ eq \f(5,2)， eq \f(9,2)）时， eq \f(y,x)取得 最小值 eq \f(9,5)；当直线OM过点（1，6）时， eq \f(y,x)取得最大值6. 答案A 2．.距离问题 当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。 例3 已知 eq \b\lc\{(\a\al(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0，))求x2＋y2的最大值与最小值. 解析 作出不等式组表示的平面区域（如图）. 设x2＋y2＝z，则z是以原点为圆心的圆的半径的平方. 当圆x2＋y2＝z过点B（2，3）时， eq \r(z)取得最大值，从而z取得最大值zmax＝22＋32＝13； 当圆x2＋y2＝z与直线AC：2x＋y－2＝0相切时， eq \r(z)取得最小值，从而z取得最小值. 设切点坐标为（x0，y0），则 eq \b\lc\{(\a\al(2x0＋y0－2＝0，, eq \f(y0,x0)·（－2）＝－1.)) 解得x0＝ eq \f(4,5)，y0＝ eq \f(2,5). 因此，zmin＝ eq （eq \f(4,5)）\s\up8(2)＋ eq （eq \f(2,5)）\s\up8(2)＝ eq \f(4,5). 故，当x＝2，y＝3时，x2＋y2取得最大值13；当x＝ eq \f(4,5)，y＝ eq \f(2,5)时，x2＋y2取得最小值 eq \f(4,5). 3． 截距问题 例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_____ 解析 令，则此式变形为，z可看作是动 抛物线在y轴上的截距，当此抛物线与相切 时，z最小，故答案为 4．.向量问题 例5 已知点P的坐标（x，y）满足：及A（2，0），则的最大值是 . 解析 =||·cos ∠AOP即为在上的投影长 由∴·cos ∠AOP的最大值为5. 线性变换问题 例6 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面积为 . 解析 令x＋y＝u，x－y＝v，则x＝ eq \f(u＋v,2)，y＝ eq \f(u－v,2). 由x＋y≤1，x≥0，y≥0得 u≤1，u＋v≥0，u－v≥0. 因此，平面区域B的图形如图.其面积为 S＝ eq \f(1,2)×2×1＝1. 四 ，与线性规划有关的综合问题 例7 设不等式组所表示的平面区域面积为，记内整点的个数为 Ⅰ,求的通项； Ⅱ，记的前项和为，且，若对一切