高中数学排列组合.docxVIP

1．排列与排列数 (1)排列： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Aeq \o\al(m,n). 2．组合与组合数 (1)组合： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Ceq \o\al(m,n). 排列数、组合数的公式及性质 排列数 组合数 公式 Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝eq \f(n！,?n－m?！) Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(n?n－1?…?n－m＋1?,m！)＝eq \f(n！,m！?n－m?！) 性质 Aeq \o\al(n,n)＝n！；0！＝1 Ceq \o\al(0,n)＝1；Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)_；Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)＝Ceq \o\al(m,n＋1) 注意：易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 一、排列问题 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 排列典型例题： 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻． 解：(1)从7人中选5人排列，有Aeq \o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq \o\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq \o\al(4,4)种方法，共有Aeq \o\al(3,7)·Aeq \o\al(4,4)＝5 040(种)． (3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq \o\al(6,6)种排列方法，共有5×Aeq \o\al(6,6)＝3 600(种)． 法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有Aeq \o\al(2,6)种排法，其他有Aeq \o\al(5,5)种排法，共有Aeq \o\al(2,6)Aeq \o\al(5,5)＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有Aeq \o\al(4,4)种方法，再将女生全排列，有Aeq \o\al(4,4)种方法，共有Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(4,4)＝576(种)． (5)(插空法)先排女生，有Aeq \o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有Aeq \o\al(3,5)种方法，共有Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(3,5)＝1 440(种)． 1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　) A．324 B．648 C．328 D．360 2.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________． 3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有(　　) A．10种　　　　　　　　　　 B．16种 C．20种 D．24种 组合问题 组合典型例题： 某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员． 解：(1)任选3名男运动员，方法数为Ceq \o\al(3,6)，再选2名女运动员，方法数为Ceq \o\al(2,4)，共有Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(2,4)＝120(种)方法． (2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男， 由分类加法计数原理可得总选法数为