高中数学解三角形.docVIP

1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式(边角转化) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)， sin C＝eq \f(c,2R)； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)； cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2．三角形中常用的面积公式 (1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)； (2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C； (3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 3.在三角形ABC关系满足： sin(A＋B) ＝sin C cos (A＋B)＝-cos C 1.在中，已知，那么一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，，成等比数列，则一定是（ ） A．不等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 （ = 1 \* ROMAN I）求C； （ = 2 \* ROMAN II）若的面积为,求的周长． 4.在△中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，求使△面积最大时，，的值. 5.在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且满足a2－ab＋b2＝c2. (1)求角C； (2)若△ABC的面积为eq \r(3)，c＝2，求a＋b的值. 6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知 (Ⅰ)求B； （Ⅱ）若 ABACADA7.如图，在中，点在边上，，，． A BA CA DA （1）求的值； （2）求的长． 8.已知函数． （Ⅰ）若，求的最大值及取得最大值时相应的x的值； （Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，b=l，，求a的值． 9.已知函数． （1）求函数的最大值； （2）在中，，角满足，求的面积. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB． (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得， sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)， 故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B． 又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4)． (2)△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(2),4)ac． 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accoseq \f(π,4)． 又a2＋c2≥2ac，故ac≤eq \f(4,2－\r(2))＝4＋2eq \r(2)，当且仅当a＝c时等号成立． 因此△ABC面积的最大值为eq \f(\r(2),4)(4＋2eq \r(2))＝eq \r(2)＋1． 10.设f(x)＝sin xcos x－cos2x＋eq \f(π,4)． (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 11.中，角所对的边分别为，已知， （1）求的大小； （2）若，求的周长的取值范围.