关于二次型的教学体会课件.ppt

例: 复数域上任一n阶对称方阵A, 必存在n阶方阵矩阵T, 使得A=T’T且r (T) = r (A). 例:设 f 是实二次型, 其相伴矩阵为A, 若|A|0, 证明: 必存在一组实数 , 使 1、对称阵的合同标准型的应用 例:设A是反对称阵, 即A’= -A∈Cn×n, 则A必合同于 2、反对称阵的合同标准型 例: 若A是实反对称阵, 则A的行列式总是非负实数. 例: 元素全是整数的反对称矩阵的行列式一定是某个整数的平方. 反对称阵的合同标准型的应用 三、实对称阵的正交相似标准型 1、应用正交相似标准型估计矩阵的特征值 2、“同时对角化”问题 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, 关于“二次型”的教学体会 厦门大学数学科学学院 杜妮 2010年4月于三明学院 合同标准型的应用 正交相似标准型的应用 二次型的教学内容分析 一.二次型的教学内容分析 以下我们列举几个在二次型教学中应该 注意的一些问题 1、二次型与相伴矩阵 定义 这里A’=A∈Kn×n,X∈Kn×1.A称为f 的相伴矩阵. {数域K上n元二次型} {数域K上n阶对称矩阵}. 注 特别强调相伴矩阵写法的唯一性. 2、惯性定理 惯性定理: f (x1,…,xn)是R上n元二次型, 在 非退化线性替换X = CY, X = DZ下, 其中 则必有p = k. 注： 此处强调通过非退化的线性替换，联系习题： 设实二次型 其中 证明 f 的正惯性指数p≤k. 3、正定矩阵的等价说法 定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1) A是正定阵. (2) 对任意0≠X∈Rn×1 , 有X’AX 0. (3) 存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4) 存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5) A的正惯性指数p = n. (6) A的所有主子式 0. (7) A的所有顺序主子式 0. (8) A的所有特征值 0. (注明第九章中证明) 注：此处配合举例说明，使学生灵活掌握等价条件. 定理: 设A’=A∈Rn×n, A为半正定矩阵 A的所有主子式≥ 0 . 注: 此处“主子式”不能改为“顺序主子式”. 强调与半正定矩阵判定条件的对比 二、合同标准型的应用 1、应用合同标准型简化二次型和对称矩阵的有关问题 2、反对称阵的合同标准型 设 f (x1,…,xn) = X’AX是K上n元二次型, 作非退化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆阵, 则f ( x1,…,xn ) = Y’C’ACY = g( y1,…,yn ). 定义: A , B∈Kn×n , B与 A称为合同的,如果存在n阶可逆阵C, 使B = C’AC. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,