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多题归一的典型图形或典型解法举例 例题1、（2009年中山）如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 命题背景： 一、考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题． 二、试题评价 （一）本题体现了以下命题原则: 1.以数学科课程标准为依据，注重考查学生对重点知识与技能的掌握情况。 2.注重考查学生运用基础知识分析问题，解决问题的能力，切实体现了素质教育的要求。 3.试题不偏不怪，体现了公平性。 4.试题的背景，能在学生的学习中找到原型，不主观臆造，有现实性。 5.试题表述准确、简洁、可读，符合学生的阅读习惯。 (二)试题考查的内容及方式 1.本题主要考察的基础知识有:等腰三角形、相似三角形的判定、平行、方程、二次函数等知识。 2.考查的数学思想方法有:数学建模思想、数形结合思想、转化的思想、函数的思想等. 3.此题将二次函数置于实际背景下考察.二次函数在实际生活中有着广泛的应用,在纯数学领域也有着广泛的应用,它是中学数学的核心内容之一,也是中考考查的热点. (三)试题难度 本试题满分9分,该题难度不算大,属中档题. 三、试题的教学价值及教学建议： 《二次函数》一章在人教课标版教材中，被安排在九年级下册，它是初中数学基础知识的一个综合应用，是在学生学习了全等三角形、相似三角形及函数的基础上进一步学习的一种超越函数。二次函数具有鲜明的几何意义，它的概念的产生和应用，都与图形有着密切的联系，它是中学阶段体现数形结合的理想教材。本章的内容通过几道鲜活的实际应用例题，渗透了这些基本思想，有助于提高学生的数学素养。 总之，二次函数不仅是重要基础知识的综合应用，同时也渗透了重要的数学思想方法，还能很好的体现“数学来源于生活，应用于生活，为生活服务”的宗旨。正因如此，它也是多年中考的热点内容，每年必考，一般出现在解答题中，融进恰当的实际背景，自然成为了广大师生喜闻乐见的一种题型。2008年河南中考第20题以“建桥”为背景，设计了二次函数的实际应用问题，通过构造梯形图中的辅助线，转化为解直角三角形，解决问题。本题的原型是人教课标版教材中引出解二次函数的概念时引用的待定系数法问题，本试题情境来源于实际，来源于教材，对考生具有相当的亲和度，有利于考生获得理想的成绩。 通过以上分析，在今后的教学和复习备考中，我得到了以下启示： 我们不仅要重视于本章内容的教与学，更要注重教学方法的引导，不能让学生死记硬背，要重视概念形成过程的教学，还要给学生提供数学活动的空间，让学生小组合作，真正体会数学的应用价值，提高非智力因素，倡导素质教育。在例题教学中，让学生通过一题多变、多题归一，体会不同背景下蕴含的相同数学本质，达到以不变应多变的效果，最终让学生形成利用二次函数解决实际问题的思路是: （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造常用辅助线，设出解析式，转化为方程的问题）； （2）根据条件特点，运用等腰三角形、相似三角形的判定、平行等知识进行解答； （3）得到数学问题的答案，思考验证后得到实际问题的答案。 四、分析： （1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax2+bx+c，求出二次函数解析式即可； （2）利用配方法直接求出顶点坐标即可； （3）根据相似三角形的判定方法分别得出即可． 解答： 解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3． 即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入， 得①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0，即12a=12， 解得a=1，b=-2． ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3； （2）∵y=x2-2x-3 =（x2-2x+1）-4， =（x-1）2-4， ∴顶点D的坐标为（1，-4）； （3）连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0） 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD， 求得符合条件的点为 ． 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD， 求得符合条件的点为P2（9，0）． ∴符合条件的点有三个：O（0，0）， ，P2（9，0）． 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定等知识，相似三角形与二次函数经常结合出综合题目，所以同学们学要对这些知识熟练的掌握才能正确的解答．