从- Malthus模型到混沌课件.ppt

,, ,, ,, ,, 从Malthus模型到混沌 上海交大数学科学学院 数学实验 混沌概念的提出与下列洛伦兹系统有关 洛伦兹系统图形 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起 — 洛伦兹 数学的伟大使命在于从混沌中 发现秩序。 — 倍尔 在那个混沌的体制中，结构上的微 小差异几乎都会造成行为方式上的巨大 变化，可控制的行为似乎已被排除。 — 斯图尔特.考夫曼 明年在得克萨斯的大风暴吗？ ■ 了解函数的迭代，不动点和有关的作图 ■ 介绍混沌，用数值迭代、蛛网迭代和密度 ■ 混沌的倍周期分叉、遍历性和某些 ■ 计算机与科学研究(即使是数学) 分布等方法来研究混沌 普适结构 实验目的 出现在各领域的类似随机、难以预测的现象 由此引起的复杂而有趣的现象 ? “侏罗纪公园”中的恐龙重现 ■ 我们的讨论 ■ 什么是混沌? ? 宇宙的起源 ? 龙卷风的产生、厄尔尼诺现象 ? 金融危机爆发 从某些简单的离散的数学模型开始,进而讨论 问题的提出 数学模型 ■ Malthus 模型 口数成正比,从而 xn+1＝ xn ＋r xn xn+1 = a xn 其中 a=r+1. 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末 时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r （出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人 即是 记 g (x) = a x，则函数迭代为 xn= a xn－1= a2xn－2 =…= an x0 于是Malthus有结论：人口增长呈几何级数 约35年增加一倍，与1700－1961年世界人口 与近年统计结果有误差，由a 1, xn趋向无穷， xn＋1＝ g( xn ) 容易得到 统计结果一致 模型在人口长期预测方面必定是失效的. . ■ Logistic 模型 生存资源是重要的因素，修改模型为： xn+1 － xn= r xn－ b xn2 － b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则 xn+1= a xn－ bxn2 ， （a=r+1） 这是一个如下非线性映射的迭代 f1(x)= ax － bx2 通常a=1.029 , b 与依赖该人群经济、文化等因素 据公布的1995年人口数据，推算b=0.0015394?10-8 数据观察（利用Matlab） 年份 统计人口 计算人口 年份 统计人口 计算人口 1995 12.1121 12.1121 2002 12.8453 12.9668 1996 12.2389 12.2376 2003 12.9227 13.0841 1997 12.3626 12.3620 2004 12.9988 13.2000 1998 12.4761 12.4853 2005 13.0756 13.3147 1999 12.5786 12.6075 2006 13.1448 13.4280 2000 12.6743 12.7285 2007 13.2129 13.5399 2001 12.7627 12.8482 2008 13.2802 13.6504 ? 比较表明计算数据与统计数据相对接近 误差说明b 需要依据情况作调整 ? 也可以利用 Logistic 模型对人口数作预测 看出人口总数会有上界 了解混沌 ■ Logistic 映射 (Robert.May 的研究） f (x)= a x(1- x)， x在[0,1]内变化 xn+1= f (xn) 从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成 xn= f n(x0), n = 0,1,2,… 序列{xn}称为x0的轨道 种群数的模型简化： 相应的迭代为 了一个序列，即 ■ 数值迭代（a 逐渐增加，迭代会有何结果） 倍周期分叉现象 ? 当0 a 1时，由于0 xn+1a xn ? 当1 a 3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于 xn ? 0 , 表明物种逐渐灭亡 x*=1-1/a 其中x*是方程 f (x)=x 的解，为映射 f 的不动点 （周期1点) 例：a =1.5时 xn ? 1/3 . 两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个 不稳定，轨道{xn}趋向稳定点 这两个数满足 ? 当3 a 1+61/2 时，xn绕着两个数 x3*，x4*振动, x2k-1 → 0.799455 , x2k → 0.513045 也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期1 例 a =3.2 点失稳) ? 当1+61/2 a 3.5440903506…时, 从任意的点 x4k → 0.443916