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2019-05-24 发布于上海
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北京大学数学科学学院期末试题 2009 -2010 学年第 1 学期考试科目高等代数I 考试时间 2010 年 1 月 8 日姓名学号注：本试题共 6 道大题，满分 100 分. 填空题答案抄在答题本上. 一．（45 分）填空题 (多选 ) . 1．已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, -1, 2, 相应的特征向量为 [ 1 0 0 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 3 0 1 ] T , 则 A9 . −1 1 0 31 0 0 1 0 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 9 ⎢ ⎥⎢ 9 ⎥⎢ ⎥ 0 1 00 ( 1) 0 0 1 0 A ⎢ ⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 9 ⎥⎢ ⎥ 0 0 10 0 2 0 0 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 9 9 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 3 2 1⋅ 0 13 0 −3 2 3 ⋅ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 ⎢0 − 0 1⎥⎢0 0 1 ⎥ ⎢0 − ⎥ 0 0 ⎢2 0 9 0⎥⎢⎣1 0 0 ⎦⎥ ⎢⎣2 9 ⎦⎥ ⎣ ⎦ 2．设 A 是 5 阶矩阵. 若 A2 = 5 A , 且 A秩 = 2 , 则 A 的特征值是 5 与 0 , 对应的特征子空间的维数分别是 2 与 3 . A ( A – 5I ) = 0 ⇒ A 秩 + ( A – 5I ) 秩 ≤ 5 ; A + ( 5I – A ) = 5I ⇒ 5I 秩 = 5 ≤ A 秩 + ( A – 5I ) 秩 ; ⇒ ( A – 5I ) 秩 = 5 – 2 = 3. 1 1 0 ⎡1 ⎤ A T T 3．设 , 则 A A 的秩为 , A A 的特征值 ⎢ ⎥ 0 0 1 ⎣2 ⎦