高中数学关于求圆锥曲线方程的方法复习.doc

关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0) 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 解 如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴 设双曲线方程为 SKIPIF 1 0 =1(a＞0,b＞0),则a= SKIPIF 1 0 AA′=7 又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有 SKIPIF 1 0 由题意，知y2－y1=20,由以上三式得 y1=－12,y2=8,b=7 SKIPIF 1 0 故双曲线方程为 SKIPIF 1 0 =1 例2过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 SKIPIF 1 0 的椭圆C相交于A、B两点，直线y= SKIPIF 1 0 x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理 解法一 由e= SKIPIF 1 0 ,得 SKIPIF 1 0 ,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0, SKIPIF 1 0 设AB中点为(x0,y0),则kAB=－ SKIPIF 1 0 ,又(x0,y0)在直线y= SKIPIF 1 0 x上，y0= SKIPIF 1 0 x0,于是－ SKIPIF 1 0 =－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′), SKIPIF 1 0 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2= SKIPIF 1 0 ∴所求椭圆C的方程为 SKIPIF 1 0 =1,l的方程为y=－x+1 解法二 由e= SKIPIF 1 0 ,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1), 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2= SKIPIF 1 0 ,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－ SKIPIF 1 0 直线l y= SKIPIF 1 0 x过AB的中点( SKIPIF 1 0 ),则 SKIPIF 1 0