函数的最大值最小值问题.doc

§4 函数的最大值最小值问题 最值与极值的重要区别： 极值是一点 SKIPIF 1 0 局部的形态； 最值是某区间整体的形态。 先讨论必要性： SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内的最大(小)值， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 必是 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的极大(小)值点， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的稳定点或不可导点． 稳定点 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的可能的最值点： 不可导点 区间端点 下面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明． 1．闭区间情形 设 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 连续，这时 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 必有最大值． 则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较（如果可能的话），最大者即是最大值． 2．开区间情形 设 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 可导，且在 SKIPIF 1 0 有最大值．若在 SKIPIF 1 0 内有唯一的稳定点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 是最大值点． 注意强调最值的存在性 例1 一块边长为a的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形，做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？ 解 设 SKIPIF 1 0 为截去的小方块的边长，则盒的容积为 SKIPIF 1 0 。 显然， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 可导，且 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 。因此在 SKIPIF 1 0 中有唯一的稳定点 SKIPIF 1 0 。 由实际问题本身知 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 中必有最大值，故知最大值为 SKIPIF 1 0 。即截去的小的方块边长为 SKIPIF 1 0 时，盒的容积最大。 例2 求函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的最大值和最小值 解 SKIPIF 1 0 ， 因此 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 的稳定点为 SKIPIF 1 0 ，不可导为 SKIPIF 1 0 。 比较所有可能的最值点的函数值： SKIPIF 1 0 即得最大值为 SKIPIF 1 0 ，最小值为 SKIPIF 1 0 。 在正午时，甲船恰在乙船正南 SKIPIF 1 0 处，以速度 SKIPIF 1 0 向正东开出；乙船也正以速度 SKIPIF 1 0 向正南开去(图5—15)．已知两船航向不变，试证：下午二时，两船相距最近． 证明 设 SKIPIF 1 0 小时后，两船相距 SKIPIF 1 0 公里，则显然有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 的最小值等价于求 SKIPIF 1 0 的最小值。 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 的唯一稳定点 SKIPIF 1 0