一元函数微分学总结.pptVIP

第二、三章 一、知识点与考点 7.基本定理 9.基本初等函数的导数与微分公式 例1. 设 12.参数方程确定的函数的导数 解法1: (二) 中值定理 定理3. 定理4 定理1.(曲线凹凸性的判定定理) 二﹑典型例题分析与解答 例8. 例9 例12. 即有 例14. 例15. 例16. 例19. 使得 由于x =1 是? (x)在(0,+∞) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则? (x) 在x=1处取得极小值. 又? (1) = 0 , 即 则当x 0 时, 则? (x) 在x=1处取得区间(0,+∞) 试证:当x 0 时, 证: 令 易知? (1) = 0 . 内的唯一的极小值点, 上的最小值. 证毕. 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法一 原式= 则 注释: 本题考查洛必达法则求未定式极限. 由于x→0时, 解法二 原式= 解法2先对分母用等价无穷小代换, 再用洛必达法则. 原式= 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 本题考查洛必达法则求未定式极限. 应填 解题过程 中应特别注意应用无穷小代换以简化计算. 填空题 * 二、典型例题分析与解答 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数微分学总结 一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (一)导数与微分 ① 若令 ② ③ 1.导数定义: 则 2.左右导数: 左导数: 右导数: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导函数简称导数,且有 函数 y = f (x) 在点 4.导数的几何意义: 处的导数 表示曲线y = f (x)在点 处的切线斜率. 即有 曲线的切线方程为 3.导函数的定义: 曲线的法线方程为 ? 是 ?x→0时比?x 高阶的无 穷小量, 并称A?x为f (x)在 其中A是与?x 无关的量, 若函数的增量可表示为?y=A?x+? , 则称 y = f (x) 在点 x 处可微 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记为dy , 即dy=A?x . 5.微分的定义: 由于?x=dx , 所以 6.微分的几何意义: 点 x 处的微分, 当?y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标 的增量时, dy表示曲线的切线纵坐标的增量. 定理1(导数存在的判定定理) 定理2(函数可导与连续的关系) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导函数必连续,但连续函数未必可导. 可导 定理4.(函数与其反函数的导数的关系) 可微 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 定理3.(函数一阶可导与可微的关系) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5) (6) (7) 设 及 (4) 均为可导函数, 则复合函数 可导, 且 或 (微分形式不变性) 8.运算法则 (1) (3) (2) (3) (1) (2) (4) (8) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5) (6) (7) (9) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (10) (11) (14) (15) (12) (13) (16) (17) 10.高阶导数 求使 存在的最高 分析: 但是 不存在 . 2 又 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.方程确定的隐函数的导数 例2.设函数 y= y (x) 由方程 确定, 求 解法1: 方程两边对x 求导数得: 解得 方程两边微分得: 解法2: 解得: 例3. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 13.对数求导法: 求“幂指函数”及多个因子相乘除函数 的导数时用对数求导法. 取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等式两边对 x 求导数: 则有: 例4. 设 解法2: 作指数对数恒等变形: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设 则有 解 取对数 等式两边对 x 求导数: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.罗尔定理 (1)在闭区间[a , b]上连续; (3) 且 f (a) = f (b) ; 成立. (2)在开区间(a , b)内可导; 若函数 f (x) 满足条件: 则在开区间(a , b)内至少存在一点? 使 2.拉格朗日中值定理 若函数 f (x) 满足条件: (1)在闭区间[a , b]上连续; (2)在开区间(a , b)内可导; 则在开区间(a , b)内至少存在一点? 使等式 3. 柯西中值定理 机动 目录 上页