西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分.docVIP

PAGE PAGE 83 第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 第一类曲线积分 1.设平面内有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为,用对弧长的曲线积分表示： （1）这曲线弧的长度; （2）这曲线弧的质量; （3）这曲线弧的重心坐标：;; （4）这曲线弧对轴,轴及原点的转动惯量;;. 解 （1）; （2）; （3）, , （4）, , 2.（1）设为椭圆,其周长为,求. （2）设为圆周,求. 解 （1）：,即, 从而 ===. （2）：, 从而====. 13.计算,其中是以,,为顶点的三角形. 1 解 如图10.1所示, 2：,从, 2 图 10.1 ：,从, 图 10.1 ：,从, . 从而 =++ = ==. 4.计算,其中为曲线. 解1 的参数方程为 ： . 计算出,于是 == ==8. 解2 在极坐标系下,: .计算出=,于是===8. 5.求空间曲线,,的弧长. 解 = =, 从而 . 6.有一铁丝成半圆形,,,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量. 解 ==. ====. 7.计算,其中为球面与平面的交线. 解 由于与对,,都具有轮换对称性,故 ==,==. 于是 = ====. 其中为圆周的周长,显然平面过球面 的球心,所以为该球面上的大圆,即半径为,故周长为.又因为 ==0, 所以 =. 第二节 第二类曲线积分 1.计算,其中为圆周（按逆时针方向绕行）. 解 :,由0到, 从而 = = ==. 2.计算,其中是抛物线上从点到点的一段弧. 解 ===. 3.计算,其中为摆线 图 10.2, 图 10.2 上对应从0到的一段弧（图10.2）. 解 = = ==. 4.计算,其中为上半椭圆 , 从点到点的一段弧. 解 由可得,,代入积分式,得 = ==2. 5.计算,其中是从点到点的直线段. 解 的点向式方程为：,从而得参数方程为 ,,,由0到1. = ==32. 6.计算,其中为有向闭折线,这里的,,依次为点,,. 解 如图10.3,:,,由0到1. ==; :,,由0到1; 图 10.3 ==; 图 10.3 :,,由0到1; ==1, 故 ===. 7.有一质量为的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力的作用,设该质点沿螺旋线,,从点移动到点移动到点,求重力与力的合力所作的功. 解 依据题意,力=,故质点所受的合力 在螺旋线上,起点对应于,终点对应于,即. 因此,力所作的功 = ==. 第三节 格林公式 1.设平面上闭曲线所围成的闭区域为,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来. (1) (a) (2) 2 (b) (3) (c) 2.利用曲线积分计算星形线,所 围成图形的面积. 图 10.4解 如图10.4，因为 由到. 图 10.4 从而 == = == ==. 3.证明只与的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分. 解 ,,,所以积分与路径无关, 故 == =. 或者 = ===. 4.计算, 其中为从到的正弦曲线. 解 如图10.5所示,由格林公式 = 图 10.5 = 图 10.5 == == ===. 其中 == == = =. 移项解之,得 . 注意 本题易犯两个错误： （1）==. 产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件： , 其中是的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线是的取负向的边界曲线,所以二重积分前面必须添加负号. （2）计算定积分是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些