微分方程第五章2.ppt

* §2 线性微分方程组的一般理论 一、齐线性微分方程组 定理1 （解的叠加原理） 设 都是 的解， 则其线性组合 也是 的解. （设 在 上连续） 定义 n维向量函数组的线性相关与线性无关 设有n维向量函数组 ,若存在 不全为零的常数 使得 则称 在 上线性相关, 否则称 在 上线性无关. 定义 伏朗斯基行列式 设 称 为 的伏朗斯基行列式. 定理4 若 为 的n个线性无关 解，则其 定理3 若 维向量函数组 在 上线性相关，则其 定理5 方程组 一定存在n个线性无关的解. 推论 的线性无关的解的最大个数为n. 称 的n个线性无关的解叫 的基本解组. 的解，则 的通解为 其中 为任意常数.且通解包含了方程组 的所有解. 定理6 设 为 的n个线性无关 基解矩阵 若解矩阵的列在 上线性无关， 则称此矩阵为 的基解矩阵. 解矩阵 若 矩阵的每一列都是 的解，则称 此矩阵为 的解矩阵. 定理2* 方程组 的一个解矩阵 为基解矩阵的 充要条件为 使 定理1* 方程组 存在基解矩阵 ,且方程组 的通解可表为 其中C为任意的n维常数列向量. 推论2* 若 都是 在 上的基解矩阵， 则存在一个非奇异n阶方阵C使 推论1* 若 是 在 上的基解矩阵，C是 非奇异的n阶常数方阵，则 也是 的基解矩阵. 二、非齐次线性方程组 方程组 的解，则 为 的解. 性质1 若 是 的解， 是 对应的齐次 性质1 若 都是 的解，则 为 对应的齐次方程组 的解. （其中 在 上连续） 对应齐次方程组 定理7 设 为 对应的齐次方程组的基解矩阵 其中 为任意的n维常数列向量. 为方程组 的一个特解，则方程组 的通解 为 线性非齐次方程组的通解为其对应齐次方程组的通解加上它自身的一个特解. 常数变易法 设 为 对应的齐次方程组 的基解矩阵 令 代入 中得 因而 所以 为 的通解 满足 的特解为 满足 的特解为 例2 设有方程组 其对应的齐次方程组有基解矩阵 求方程组满足 的特解. *