全等三角形中的倍长中线与截长补短法.pptVIP

例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 方法1：过D作DG∥AE交BC于G， 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G， 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG， 证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形 例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH 练习 已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。 二、截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。 让我们来大显身手吧！ 例如：已知如图6-1：在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 思路导航 要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。 因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC 故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN 再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PNBN 即：AB-ACPB-PC。 * * 倍长中线与截长补短法 辅助线一般作法 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB+AC2AD 分析：要证AB+AC2AD， 由图想到： AB+BDAD, AC+CDAD， 所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD， 左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD， 即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD=CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中 BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等） AD=ED （辅助线作法） ∴△ACD≌△EBD （SAS） ∴BE=CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB+AC2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形） A B C D E F 2 5 - 图 证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在△APN和△APC中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP-PCAB-AC 证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在△ABP和△AMP中 AB=AM （辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB=PM （全等三角形对应边相等） 又∵在△PCM中有：CMPM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-ACPB-PC。 在△ ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。 求证：DE=AD+BE 证明： 2 1 3 ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠1+∠2=90°. ∴ ∠2=∠3. ∠ADC= ∠CEB ∴ ⊿ADC≌⊿CEB ∴ AD=CE,CD=BE ∴ DE=AD+BE ∵