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中值定理与导数的应用 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性 一、单调性的判别法 二、曲线的凹凸性与拐点 三、小结 * 一、单调性的判别法 二、曲线的凹凸性与拐点 三、小结 定理 证 应用拉氏定理,得 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 单调区间求法 例2 解 单调区间为 例3 解 单调区间为 例4 证 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 1、曲线凹凸性的定义 定义 定理1 2、曲线凹凸的判定 例1 解 注意到, 1、定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 证 三、曲线的拐点及其求法 方法1: 例2 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 方法2: 例3 解 注意: 例4 解 曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 思考题1 思考题1解答 不能断定. 例 但 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． 思考题2 * *
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