WJF8-2可分离变量的微分方程.ppt

函数与极限 8.2 可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 可化为可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 小结 * * 小结 形式Ⅰ： 解法 即为微分方程的通解. 分离变量： 两端积分: 可分离变量的微分方程也可写成如下形式： 分离变量： 两端积分即为方程的通解： 若N1(x)=0有实根 x0，则 x0也是微分方程的解； 若M2(y)=0有实根 y0，则 y0也是微分方程的解. 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 例2 求方程 的通解. 解 分离变量： 两边积分： 即 通解为 二、可化为分离变量的微分方程 形式Ⅰ： 其中a 和b 是常数. 作变量代换 代入原微分方程有 分离变量： 已化为可分离变量 的微分方程 积分得： 代入便得原方程的通解. 例3 求微分方程 的通解. 解 作变量代换 两端对 x 求导得： 于是 分离变量： 积分得： 代回得微分方程的通解为： 形式Ⅱ： ——齐次微分方程 作变量代换 则有 代入原微分方程, 有 分离变量： 已化为可分离变量 的微分方程 积分得： 代入 便得原方程的通解. 两边对 求导： 例4 求微分方程 的通解. 解 方程可化为 作变量代换 得： 可分离变量但不好积分,换个位置考虑， 将 x 看成因变量，y 看成自变量解方程. 例4 求微分方程 的通解. 解 方程可化为 作变量代换： 则 代入方程，化简得 两端分别积分得 即 及 将 代入方程得： 通解 形式： 形式Ⅱ： 形式Ⅰ： 可分离变量微分方程 可化为分离变量的微分方程 分离变量;两边积分。 作变量代换 作变量代换 * *