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反对称张量在N维空间中的几何意义 By wxy 目录 推广的猜想、通过平面构造二阶张量 面量的基本性质 面量的模 单位面量 面量的“方向”、意义 面量的“点乘” 构造四维二阶张量 四维空间中平面间的位置关系 射影面积定理推广 四维空间中平面间的夹角位置术语 高维空间“叉乘”推广 向量间的叉乘：求法平面 标量与面量间的叉乘：求平面的法平面 叉乘与点乘的关系1 标量与标量间的叉乘：得置换张量 面量与面量间的叉乘：得标量 面量与面量间的叉乘的几何意义 叉乘与点乘的关系2 面量与奇异面量 面量之和有意义的条件 面量与向量的叉积：得到向量推广的猜想、通过平面构造二阶张量 张量是向量的推广。在N维空间中向量有N个分量，而张量则有N的阶数次方个分量。 因为张量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的张量。 标量（〇阶张量）可以表示N维空间中有“大小”、“正负”的原点； 向量（一阶张量）可以表示N维空间中过原点的一条有方向有“大小”（长度）的直线； 由前面的例子我们希望二阶张量能代表有“大小”有“方向”的过原点的平面，但我们该怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开始。 已知两个在平面内的不共线（线性独立）的基底 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，我们怎样表示这个平面？ N维空间中最一般的平面表示方法是 SKIPIF 1 0 。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即 SKIPIF 1 0 ,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！（“绝对垂直”即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系”。）我们希望二阶张量能表示“大小”，即 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 间围成的平行四边形的“面积”，我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如 xOy 平面， SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 间围成的平行四边形的面积在这个坐标面的投影为 SKIPIF 1 0 ，我们可以构造一个张量 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 。为了方便，我们记 SKIPIF 1 0 。（正反并矢积之差） 面量的基本性质 面量的模 张量 SKIPIF 1 0 即表示向量 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所决定的平面，我们称 SKIPIF 1 0 为“面量”，记为“ SKIPIF 1 0 ”。三维空间中： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 。我们这样定义的所有面量都是反对称张量，面量的模为基向量 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 间平行四边形的面积，即 SKIPIF 1 0 。注意 SKIPIF 1 0 既不等于 SKIPIF 1 0 ，也不是 SKIPIF 1 0 中每项元素的平方和开方，而是 SKIPIF 1 0 中每项元素的平方和除以2再开方，那是因为二阶反对称张量有一半的项只相差了正负号，而本质上是