含参数不等式恒成立问题.doc

含参数不等式恒成立问题 设计目的：在高中阶段学习中，尤其专题复习时，对题目的变式研究常常可以收到事半功倍的效果。现以一题为例，供大家参考。 我所选的这道例题及其变式，可以说基本概括了解决含参数不等式恒成立问题的基本方法。仅选一道题其目的在于力求以少胜多，减少学生读题的时间和难度，也能达到举一反三的效果。考虑到学生的认知规律，让学生从熟悉的一元二次方程的有解性问题的解法入手来思考，这样可以在类比中探究，培养学生的类比能力、探究精神和对数学的兴趣。 实施过程： 【例】设函数，若对于任意实数x有恒成立,求实数m的取值范围. 给学生时间思考后，给出解答。 【解】当m=0时, . 故只须 老师肯定解答后，再给出分析。 【分析】使函数恒成立，若可求得其最小值，使之大于零即可。而在时只有当才有最小值，故只要即可。但由于上式书写较繁琐，结合二次函数的图象可知，与上式是等价的。另外m=0要单独考虑，是大家一个易错点，要注意。 如【思考题】（2004高考湖北卷）设集合 ， ,则下列关系中成立的是 A B C D 学生思考后，找同学给出答案。教师分析： 此题中，由于时得，所以不少同学要选C。而m=0时-40也恒成立,故应选A. 【变式⑴】若对于恒成立,求实数m的取值范围. 给学生时间思考后，给出解答如下： 【解】：， ,即 ,显然成立。即 显然也成立。故综上可知， 给出肯定答复后，又有同学给出以下解法： 【解】：在时恒成立 由于时，，即所以只须恒成立 而，故。 上述方法较第一种解法简单，给以表扬并分析强调可行性。 【变式⑵】若对于恒成立,求实数x的取值范围. 此题有难度，老师先分析与上题的不同，引导学生思考后由学生书写解答。 【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，比较麻烦。（可再此处由学生简单验证）然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－x+1)m－60在上恒成立的问题。对此问题的研究，设g(m)＝(x－x+1)m－6，则问题转化为求一次函数（或常数函数）g(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。 【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x－x+1)m－60在[-2,2] 恒成立， 设g(m)＝(x－x+1)m－6,则 解得x∈（-1,2） 引导学生小结本节内容，教师总结强调含参数不等式的常见解法。 【小结】⑴形如的恒成立问题，可分为恒成立与恒成立两大类型,求解中还要注意a=0的影响。 若恒成立，则只要; 若恒成立,则只要 ⑵变式⑴与原题的不同在于x的取值范围。其中法一与原题实质相同，都是通过函数最值的常用解法分类讨论的思想解决了问题；而法二则另辟蹊径，通过分离变量而避免了对m的讨论，使问题得到迅速解决。 ⑶变式⑵的关键是转换变量，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题而得到简化，从而收到事半功倍的效果。 但大家应注意到，无论此题如何变式，其实质还是对值域或最值的求解。 大家在学习和工作中若能常常对题目变式进行研究，定可以达到由一而知多，由一题而知一类甚至多类的良好效果。