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关于一般院校微积分教材的教学 关于一般院校微积分教材的教学 一、训练什么？ 二、训练的重点 附：几点教学要求 关于一般院校微积分教材的教学 一、训练什么？ 学习大学基础数学课程(包括微积分)的基本要求： 1.初步掌握这门数学工具； 2.学习一种理性思维； 3.培养一种审美意识. 简言之：“致用，明理，审美”. 关于一般院校微积分教材的教学 关于“致用”： 这是一般院校的学生首先要着重学习的方面. 例如： *初步的数学建模意识：学习一些从某些基本规律或数据出发，建立用图形或数学式子(公式)表示的函数关系. 从这些图形或公式中提取有关函数的一些信息. 关于一般院校微积分教材的教学 关于一般院校微积分教材的教学 *理解如何利用局部均匀变化的规律来表现总体不均匀变化的现象. 典型的两种情况： ⑴“变化率”的概念 (运动的速率，物质的密率(度)，平面上直线的斜率，曲线的曲率，乃至借贷的利率，人口的增长率等等). 如何用“平均变化率”过渡到“一点的变化率”—函数的导数. 关于一般院校微积分教材的教学 ⑵ 一个不规则(或不均匀)的总体如何分解为规则(或均匀)的小部分之和. (变速运动在确定时间内所走距离，不规则形状物体的质量，不均匀带电体所产生的电场强度等等). –函数的定积分. 关于一般院校微积分教材的教学 *理解函数“逼近”的概念. 如何由在一点处函数及其导数的值近似地求附近其它点的函数值 — 微分及泰勒展开式. 利用简单的初等函数，在一点附近逐点逼近和在区间上平均逼近一个已知函数. *比较熟练地进行函数间的四则运算、复合运算和微分运算 关于一般院校微积分教材的教学 关于“明理”: 现代数学是以抽象的模式为对象(数，图形，函数乃至某种集合等)，以逻辑推理为主要手段的一种演绎科学. 数学思维是一种重要的理性思维. 这方面在中国历史上一直没有得到应有的重视. 近年来在中学数学教学中反而有所削弱. 今日在学生中害怕抽象，不习惯于逻辑推理，只惯于背公式、代公式，按“题型”做题，乃至于在思维中习惯于“应该”，而不问是否“必然”,已经是一种较为普遍的现象. 在大学数学的教材和教学中，应该高度重视这一点. 关于一般院校微积分教材的教学 例如： *理解数学对象的抽象本质及其具体表示. 例如函数是具有某些特性的“对应关系”，对它们所进行的诸如四则、复合运算以及求导数、求不定积分后，结果还是函数(某种对应关系). 如果用图形来具体表示函数，则应了解对图形进行相应运算的涵义. 关于一般院校微积分教材的教学 *什么叫做一个命题的“证明”，“证明”和“说明”的区别. 以教材中出现的各种命题为例，能区分其中已证的和未证的. 熟悉必要充分条件和反证法，熟悉如何表达一个命题的反命题. 关于一般院校微积分教材的教学 *分清“层次”：数学推理是从定义，公设，公理出发，一层一层地根据逻辑推出一批定理(命题). 从上一个定理推出的结论可以是用以证明下一个定理的前提. 要学习分辨推理过程中的层次，尤其是最初的出发点. 例如证明微分中值定理的前提是费马定理，而证明后者的前提是闭区间上连续函数必取极值；如果再进一步追溯，就要到实数的完备性了. 可以把连续函数的基本性质定为出发点，在此基础上证明(或说明)微分及积分的中值公式，用不定积分定义定积分，以及用累次积分定义重积分等等. 关于一般院校微积分教材的教学 关于一般院校微积分教材的教学 *准确理解两个典型的无穷小的极限运算：两个无穷小之比及无穷个无穷小之和. *定积分，平面线积分，二重积分的牛顿-莱布尼茨公式的异同. *微分和积分中值公式证明的基础. *无穷级数和反常积分的比较. 关于一般院校微积分教材的教学 关于“审美”： 长期以来，在大学数学的教学中，“审美”的意识一般是被忽视的。以至不少学者对数学产生一种枯燥而又烦琐的印象，从而视学数学为畏途. 事实上，数学自有其美的形象. 关于一般院校微积分教材的教学 例如： *“双峰对峙，二水分流”的对称而又和谐的美. 数与形，局部与整体，微分与积分，…. 例如：曲线在一点附近的升降与导数的正负；函数在局部的多项式逼近与函数在整个定义区间上的三角函数逼近，二次方程与二阶常系数微分方程. 关于一般院校微积分教材的教学 *“原天地之美而达万物之理”，深刻的“理”使人产生“美”的感受. 例如在不同的对象之间，发现藏深的同一性；在杂乱繁琐的事物中，找出简单的序关系；在眼花撩乱的运动中，找到恰到好处的平衡状态，…. 关于一般院校微积分教材的教学 微积分和其他的基础课程一样，在教学中都应注意到专业知识和人文精神这两个方面. 尤其是长期以来被忽视的后者. 数学既