平面向量的数量积及运算律(1).ppt

 5.6 平面向量的数量积及运算律 * 复 习 例题讲解 小结回顾 引 入 新课讲解 性质讲解 课堂练习 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ0时,λa的方向与a方向相同； 当λ0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0 设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb 复 习 例题讲解 小结回顾 引 入 新课讲解 性质讲解 课堂练习 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。 复 习 例题讲解 小结回顾 引 入 新课讲解 性质讲解 课堂练习 θ=180° θ =90° 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。 θ=0° 特殊情况 O B A θ 例1、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 A B C 通过平移 变成共起点！ 复 习 例题讲解 小结回顾 引 入 新课讲解 性质讲解 课堂练习 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 分析： (1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量， 符号由夹角决定 (2)a · b不能写成a×b 1) 对实数a≠0,若a · b=0，则b=0，但对向量a≠0 时，若a · b=0 , 能不能推出b是零向量？ 2）对于实数a、b、c（b≠0），若a · b=b · c，则 a=c , 对于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？ 3）对于实数a、b、c，有（a · b） · c=a · （b · c） 但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？ (3)向量的数量积与实数积的区别: 复 习 例题讲解 小结回顾 引 入 新课讲解 性质讲解 课堂练习 解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10。 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2 复 习 例题讲解 小结回顾 引 入 新课讲解 性质讲解 课堂练习 OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 θ为锐角时 θ为钝角时 θ=90° θ=0° θ=180° 我们得到a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 复 习 例题讲解 小结回顾 引 入 新课讲解 性质讲解 课堂练习 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ 重要性质: （5）|a·b|≤|a||b| a·b |a||b| （4）cosθ= （3）当a与b同向时，a·b=|a||b| 当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。 （2）a⊥b a·b=0 1．若a=0，则对任一向量b ，有a · b=0 2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a · b≠0 3.若a≠0，a · b=0,则b=0 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0 5.若a≠0，a · b= b · c,则a=c 6.若a · b= a · c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立 7.对任意向量a