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利用图形的旋转变换解题举例 泰州市二中附中 姚永前 陈秀娟 这一轮课程改革，对几何作了较大幅度的调整，印象较深之一是加强了“几何变换”的内容，即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转，本文从“旋转”这一角度举些例子，供大家参考。 我们知道，图形的旋转变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形〔题设〕信息的目的，使较为复杂的问题得以顺利求解。 例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方形的边长为,求阴影部分的面积。 解：连AC、BD如右图，则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③，将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④，则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等，所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB =S 正方形ABCD=。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置，从而顺利地完成了计算。 例2、如图⑵所示，在⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=，D是BC上任一点，试说明。 证法一（非旋转法）：过A点作 AE⊥BC于E，如图⑶,则容易证明AE=BE=EC， 又BD=BE－DE，DC=CE+DE， 所以，， 所以=+= ，而在直角三角形ADE中,存在，所以，这是传统的证明方法。 本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了. 证法二(旋转法): 将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷, 连DE, 易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在Rt△EBD中有， 在Rt△AED中有，所以。 例3、 如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小 解: 如图（6），将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA, 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2，在Rt⊿BEP中，， 且∠EPB= ，在⊿AEP中 ，又，所以△APE是直角三角形，即∠APE=，∠APB=∠APE+∠EPB=+=，即∠APB为。 传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。如图（7），正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。 将△CDQ绕C点逆时针旋转90°像图（8）那样，立刻可得QA+AB+BE=2，由△APQ周长为2得 PQ=PE，进一步可得△CPQ≌△CPE，∠PCQ=∠PCE，又∠QCE=90°，所以∠PCQ=45°。 又如图（9），△ABC中，AB=AC，P为三角形内一点，且∠APB＞∠APC，求证：PC＞PB。 将△APB绕A点逆时针旋转成右图那样，不难得到条件∠APB＞∠APC变成了∠PQC＞∠QPC，从而PC＞CQ，由旋转关系，PC＞PB。 最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了：如图（10），四边形ABCD中，AB=AD，∠A=∠C=90°，其面积为16，求A到BC的距离。通过旋转变换，将图（10）变成图（11），答案可以脱口而出：距离为4！ 类似的例子可以举出许多，这里不再赘述。 综上可见，正确利用图形的旋转变换可大大提高解题效率，不过在使用这一方法解题时还需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，故这种方法一般常用于等腰三角形，正方形图形中。 几何专题复习 图形与变换（1）——平移、旋转和轴对称 广州市４７中汇景实验学校 李朝阳 一、教学目标： （1）能借助图形识别平移、旋转和轴对称三种基本变换的异同； （2）能利用平移、旋转和轴对称三种变换认识基本图形并解决图形中的问题。 二、教学重点与难点 重点：利用变换认识图形的能力训练； ABC A B C O D E 三、教学过程： 1、借助图形，识别变换 如图，长方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于O，DE∥AC，CE∥BD，那么△ABD 可以看作是由△__________旋转得到，旋转中心是_______，△DEC可以看作是由△__________经过 变换得到；有没有与△DEC成轴对称的三角形？中心对称呢？图中还有没有其它类似的图形变换？ 通过回顾图形的三种变换，归纳总结如下 图形变换 共性 个性 轴对称 （1）形状不变、大小不变； （2）变换前后，两个图形全等，对应线段、对应角相等 对应点的连线段被对称轴垂直平分 平移 ①对应线段平行（或在同一直线上）且相等； ②对应点的连线段平行（或在同一直线上）且相等。 旋转 ①对应点到旋转中