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线性空间与欧几里得空间 §2 线性子空间的和与直和 线性子空间的和 线性子空间的和(2) 线性子空间的和的维数 线性子空间的和的维数(理论结果) 线性子空间的和的求法：例子 线性子空间的和的求法：例子 线性子空间的直和: 定义 线性子空间的直和，补子空间 多个线性子空间的直和 命题2.1的证明 命题 2.2 的证明 引理２.３的证明 定理2.4的证明 定理 2.4 的证明(2) 定理 2.6 的证明 定理 2.7 的证明 命题 2.8 的证明 命题 2.8 的证明(2) 命题 2.8 的证明(3) * * 线性子空间的和 线性子空间的和的维数公式 线性子空间的和的基的求法 线性子空间的直和 两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。 则集合 也是一个线性子空间， proof 从线性子空间的和的定义很容易看出： (3) 多个子空间的和： 以上 4 个线性子空间都是 2 维的 引理 2.3:　线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。 proof proof proof 主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组 基础解系: 下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和. 必要性是显然的, 下证充分性. proof proof proof 所以 W 是线性子空间。 back 证明： 证明: 由定义, 有 back 如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充 线性无关的向量组, 　直到不能扩充为止． 最后得到W的一组基. back 引理 2.3:　线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明: 证明: 注意到 只要证明 线性无关 设 有 所以 即 有 back 证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。 back 由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。 back 证明: =0 所以 *