含参数的不等式恒成立问题.doc

PAGE 含参数的不等式恒成立问题 1 转换主元法 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法常适用于化为一次函数。 对于一次函数有： 例1：安徽08文科（20）．设函数为实数。 已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。 分析：注意题目条件给出信息，“对任意都成立”确定主元为a。构造出关于a的一次函数 2 化归二次函数法 根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。 对于一元二次函数有： （1）上恒成立； （2）上恒成立 例2：在R上定义运算：xy＝(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)1对任意实数x成立，则 ( ) (A)－1a1 (B)0a2 (C) (D) 分析：根据条件得出二次不等式对任意恒成立，可借助二次方程的的符号求解 例3：若不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。 分析：根据条件得出二次不等式对某个区间上的x恒成立，可借助二次函数在这个区间上的的最值求解。也可考虑下面第三种方法（分离参数法） 例4：定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有 恒成立，求实数m的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0在给定区间[a，b]上恒成立问题可以转化成为在[a，b]上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。 3 分离参数法 在题目中较容易分离出参数，化成af(x) （af(x)）型恒成立问题，再利用afmax(x) （afmin(x)）（转化为求最值问题），求出参数范围。有时可避免较复杂的分类讨论 （1）对任意都成立； （2）对任意都成立。 简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例5：设函数，若对于任意的,都有成立，则实数的值为 ． 例6、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。 例7：（2010济宁一摸21）已知函数若函数在[1，4]上是减函数，求实数的取值范围。 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围；若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 例8、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。 4.求出不等式的解集后再进行处理。 例9：已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 含参数的不等式恒成立问题 例1：解： 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充分必要条件是 即 ， 于是的取值范围是 例2：解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] 1对任意x成立 即x2-x-a2+a+10对xR恒成立 记f(x)=x2-x-a2+a+1 则应满足 化简得 4a2-4a-30 解得 ,故选择C。 例3：解：设f(x)=x2-2mx+2m+1 本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。 (1)当m0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值， 解 得 m0 (2)当0m1时，f(x)在x=m时取得最小值 解 得 0m1 (3)当m1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值 解 得 m1 综合(1)(2)(3) 得 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解，可避免较复杂的分类讨论。 例4： 【解析】由得到： t=mtg t=m t g(t) o · 1 图1 故有恒成立， 又因为为R减函数， 从而有对恒成立 t=mtg(t)o t=m t g(t) o · 1 图2 在设函数,对称轴为. ①当时，， 即，又 t=mtg t=m t g(t) o · 1 图3 ②当，即时, ,即, ∴,又, ∴(如图2) ③当时，恒成立. ∴(如图3) 故由①②③可知：. 例5：解： 若x＝0，则不论取何值，=1≥0显然成立； 当x＞0 即时，≥0可化为:,