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状态和状态空间模型 系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。 状态 状态变量 状态空间 状态空间模型 状态空间的基本概念 下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念,主要讲授内容为： 系统的状态和状态变量 系统的状态空间 1. 系统的状态和状态变量 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分重要。 “状态”的定义如下。 定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。 该变量组的每个变量称为状态变量。 该最小变量组中状态变量个数称为系统的阶数。 “状态”定义的三要素 完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(t?t0)的输入,则系统在任何瞬时(t?t0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。 动态时域行为。 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。 减少变量,描述不全。 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t). 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下: 状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量； 可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。 状态变量与输出变量的关系 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动态特性。 因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律。 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投影,一个子集。 2. 系统的状态空间 若以n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn. 状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。 系统的状态空间模型 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。 状态空间模型由 描述系统的动态特性行为的状态方程和 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程 所组成。 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。 例 某电网络系统的模型如图2-3所示。 试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。 2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数。 对本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状态方程。 每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。 对本例,经整理可得如下状态方程 其中 总结出状态空间模型的形式为 状态空间模型的意义,有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性, 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。 上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至 非线性系统、 时变系统。 1. 非线性时变系统 系统的状态空间模型(9/11) 2. 非线性系统 系统的状态空间模型(10/11) 4. 线性定常系统 系统的状态空间模型(11/11) 线性系统状态空间模型的结构图 线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。 在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。 系统结构图主要有三种基本元件: 积分器, 加法器, 比例器, 其表示符如图2-4所示。 图2-4 系统结构图中的三种基本元件 例 线性时变系统 线性系统状态空间模型的结构图 若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各变量间的结构图。 图2-6表示的是状态空间