1.2.2单位圆与三角函数线.ppt

1.2.2 单位圆与三角函数线 * 前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0o到360o角的三角函数的一组公式， 由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法 我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。 设P 点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记 ，则由正弦函数的定义可知， 1.单位圆的概念 一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为 B(0，1)，B’(0，－1). 2. 有向线段的概念： 带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3 设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N， 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影. 3. 三角函数线 根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM，sinα=ON. 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 以A为原点建立y’轴与y轴同向，y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T ’)，则tanα=AT(或AT ’) 我们把轴上的向量 分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线. 例1.分别作出 、 、 的正弦线、余弦线、正切线。 例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1sin1.5 cos1cos1.5 tan2tan3 例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0ox360o) 解：由在y轴上找到y=0.5的点，做x轴的平行线，交单位圆于点P和P’两点，由三角函数线知 x1=30o, x2=150o. 例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1. 证明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|， 因为三角形两边之和大于第三边，所以 |sinα|+|cosα|≥1。 例5. 已知α∈(0， )，试证明sinααtanα . 证明：sinα=|ON|=|MP|, α = tanα=|AT|. 又 所以 即sinααtanα . 小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段