1.3.2函数的极值与导数(2)(1).ppt

1.3.2 函数的极值与导数 【教学目标】 知识与技能：理解极大值、极小值的概念； 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 掌握求可导函数的极值的步骤。 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 【重点与难点】 重点：求可导函数的极值 难点：对极大、极小值概念的理解 函数的极值定义 设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值） 使函数取得极值的点x0称为极值点 y x O 探究： 极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？ 结论: 极值点处，如果有切线，切线水平的. 即: f ?(x)=0 a b y=f(x) x1 x2 x3 f ?(x1)=0 f ?(x2)=0 f ?(x3)=0 （1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值 （3）极大值不一定比极小值大 （4）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0 例：y=x3 理解极值概念时需注意的几点 (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值; 探究: 极值点两侧函数图像单调性有何特点? 极大值 极小值 即: 极值点两侧单调性互异 f ?(x)0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 探究: 极值点两侧导数正负符号有何规律? x2 x xx2 x2 xx2 f?(x) f(x) x xx1 x1 xx1 f?(x) f(x) 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 注意:(1) f?(x0) =0， x0不一定是极值点 (2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f?(x0) =0的点，再列表判断单调性 结论：极值点处，f?(x) =0 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f’(x)=0的根 （3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值 + - x0 - + x0 求导—求极点—列表—求极值 x X-1 -1 (-1,0) （0，1） 1 X1 + 0 - - 0 + 所以，当x=-1时，函数的极大值是-2， 当x=1时，函数的极小值是2 导函数的正负是 交替出现的吗？ 不是 极大值 极小值 练习2 求下列函数的极值: 解: 令 解得 列表: x 0 f (x) + 单调递增 单调递减 – 所以, 当 时, f (x)有极小值 解: 解得 列表: x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞) 0 0 f (x) – + + 单调递增 单调递减 单调递增 所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 . 练习2 求下列函数的极值: 解: 解得 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 解得 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 . 练习2 求下列函数的极值: 思考：已知函数