微积分的基本思想方法及其应用.ppt

马知恩西安交通大学 微积分的基本思想方法 及其应用 国际数学教育委员会前主席荷兰数学家H.Freudenthal说过: “没有一种数学思想，以它被发现时的那个 样子发表出来。一个问题被解决以后，相 应地发展成一种形式化的技巧，结果使得 火热的思考变成了冰冷的美丽”。 任何事物 微观 宏观 运动 速度 位移 物质细棒 线密度 棒的质量 容器中液体 压强 对底或壁的压力 数量关系 变化率 改变量 空间物体 面(体)密度 质量 方向导数 空间场 变化率 改变量 (流体) 梯度 源的强度 散度 通量 旋转趋势与方向 旋度 环流量 l 导数 积分 1o 均匀与非均匀 (质量) 分布 均匀 非均匀 变化 变化率： 常量 变量 　 函数： 　　　线性 　 非线性 图形： 　　　直线 　　　 曲线 2o 微积分方法的本质 　微 观 宏 观 均匀分布： (除法) (乘法) 非均匀分布： 导数 积分 “匀” “分” “匀” “精” “合” “精” l??不同类型的问题，解决的基本思想方法是一样的. “局部均匀化求近似”，“利用极限得精确” l???导数与定积分分别是处理均匀量的除法和乘法在处理相应的非均匀量中的发展 3o 积分与微分的关系 回顾已知线密度 求质量 。 关键在于在 上对 以“不变代变” 与 是原函数与导函数的关系 在[a,b]上通过对导函数 “不变代变”求原函数 增量的近似值 积分和式中 是否都是 的 有无普遍性 原函数的增量的近似值？ 若是，是怎样的近似值？ 　　　 若 设 或 若 为 的原函数 在点 关于 的微分,当然是 增量的近似值。 定积分是微分的无限累加。 两种解释 4o 微元法 把量 用积分式表达： 的关键在于求微分 (微分) 无限累加： 问题： 待求， 未知； 怎样的函数 是 的导函数(变化率)？ 已知： 只需找到与 成线性关系的 ，且使 即 的线性主部或 的与 成线性关系的等价无穷小。 例1 (1) 求圆锥体积。 V非均匀分布在 上， 截圆半径kx变化。 是否 的微分？ 观察 故 是 的微分 (2) 求圆锥体的侧面积 若取 (2) 求圆锥体的侧面积 若取 是否是 的微分？ 将圆锥面沿母线剪开展平如图 弧长 即 所以 若 非高阶无穷小。 似乎 而 故 事实上 5o 微元法在建立微分方程中的应用 求 ： 微元分析法 (微小