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1-1 判断下列信号是否是能量信号，功率信号，或者都不是。注意这里圆括号和方括号表示其分别对应连续和离散信号，下同。 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)。 解 (1) 对于， 因此,是能量信号。 (2) 如果是基本周期为的周期信号,则的归一化平均功率与任意时间间隔的的平均功率是相同的，正弦信号是周期为的周期信号，所以的平均功率为 因此，是功率信号。注意，一般情况下，周期信号都是功率信号。 (3) 对， 因此，既不是能量信号，也不是功率信号。 (4) 对，根据能量信号定义得 因此，是能量信号。 (5) 对，由功率信号定义得 因此，是功率信号。 (6) 因为，所以 因此，是功率信号。 1-2 验证下式： (1) ；(2)。 解 可以根据以下等效性质来证明： ????设是广义函数，则对于所定义的测试函数，当且仅当 时，，这就是等效性质。 (1) 对可变的变量,设,则，可以得到以下等式： 所以，考虑到是的偶函数，因而有。 (2) 令 ，由得 1-3 计算下列积分 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)。 ? 解 (1) (2) (3) (4) (5) 1-4 如下图所示的系统是(1)无记忆的；(2)因果的；(3)线性的；(4)时不变的；(5)稳定的。 解 (1) 由图得，因为输出的值仅取决于输入当前的值，所以系统是无记忆的。 (2) 因为输出不取决于输出将来的值，所以系统是因果的。 (3) 设，则有 其中 所以系统满足叠加性质，是线性的。 (4) 设，而，因为，所以系统是时变的。 (5) 因为，，若输入是有界的，则输出也是有界的，系统是BIBO稳定的。 1-5 如果可以通过观察系统的输出信号来惟一的确定输入信号，则该系统称为可逆的，如下图所示。试确定以下的系统是否是可逆的，如果是，给出其逆系统。 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)。 ? 解 (1) 可逆，。 (2) 不可逆。 (3) 可逆，。 (4) 可逆， (5) 不可逆。 1-6 如下图所示的网络中，已知励磁信号为，单位为，电阻（单位），电感（单位）均为常数，电容器是一个伺服机械带动的空气可变电容器，其容量的变化规律为。试列出该网络输出电压的数学表达式，并说明该网络属于哪类系统。 解 电容器上的电荷，所以回路电流（即电容器中的电流）为: 电阻两端的电压为： 电感两端的电压为： 基于KVL，可得，得 由数学模型可知该系统是线性时变连续时间系统。 1-7 建立下图所示电路的数学模型，指出该电路产于哪种系统。若将图中的开关在开启，在闭合，开启，如此不断重复，试问该网络是什么样的系统? 解 当开关开启不动时，该网络的数学模型为： 这是一个二阶常系数微分方程，所以该系统为线性时不变系统，当开关按函数动作时,显然这时网络的电量是时间的函数,所以该系统为线性时变系统。 ? 2-1 设，证明。 证明 由卷积公式有 设，代入上式得 2-2 设为下图中(a)所示的三角形脉冲，为单位脉冲串，如图中(b)所示，表示为，试确定并画出当为以下各值时的：(1) ；(2) ；(3) 。 解 利用卷积公式可得 ? (1) 时，(2) 时，(3) 时， 2-3 设一个连续时间系统为，求出并画出系统的冲激响应，该系统是否为因果系统？ 解 ? 利用卷积公式可以表示为 ? 因此，系统的冲激响应为 由右图及上式可看出，当时，，因此系统不是因果的。 ? ? 2-4 如下图中(a)所示，系统是通过连接两个相叠的系统构成的，这两个系统的冲激响应分别为和，且，。求出图中(b)所示整个系统的冲激响应，并判断系统是否为BIBO稳定的。 解 设是第一个系统的输出，则，有 根据卷积的结合律，有 因此，整个系统的冲激响应为 因为 所以系统是BIBO稳定的。 2-5 如下图所示，连续时间系统由两个积分器和两个比例乘法器构成，写出输入和输出之间的微分方程。 解 设和分别为图中第一个积分器的输入和输出，则 因为是图中第二个积分器的输入，则有，得 这就是要求的二阶线性微分方程。 注意：一般情况下，由相互连接的积分器和比例乘法器构成的连续时间LTI系统的阶数等于系统中积分器的个数。 2-6 设一个连续时间系统的输入与输出之间的关系为，其中是常数。(1) 若，求；(2) 用零输入和零状态响应方式表示。 解 ????设，其中是满足的特解，是满足式的一般解。 ????假设，代入，得，由此可得，故 ????要得到，可以假设，代入，得，可得，故 ????将和组合起来，得 结合辅助条件，得，则 ????如果，有，因此又得，由辅助条件得，则，所以可以用零输入响应和零状态响应的形式表示为： 2-7 对习题2-6中的系统求其冲激响应。 解 冲激响应应该满足微分方程 (2-7-1) ????式(2-7-1)的