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统计中著名的佯谬与悖论 2006/10/05 晚 李晓煦 香港中文大学教育学院 Paradox－－佯谬 vs 悖论 • 佯谬：从常识上看是错的，实际上是对的；有时一个 命题的对立面是佯谬，也被称为佯谬。 – 例：整体可以与部分一一对应,比如自然数集合与 质数集合 {2,3,5,…} ={第k个质数| k=1,2,3,…} {k ;k=1,2,3,…} • 悖论：因为隐含的条件未被揭示，一个命题竟 然在形式上和它的对立面都是对的或者都是错 的。 – 例：圓的弦大於内接正 三角形邊長的概率是1/2， 1/3或1/4 http://www.nici.kun.nl/~peterh/doc/bertrand.html Simpson’s Paradox • 加州大学伯克利分校研究生院被诉性别 歧视，因为女生平均录取率显著低于男 生。 Bickel, P. J., Hammel, E. A., and OConnell, J. W. (1975). Sex bias in Graduate admissions: data from Berkeley. Science 187: 398-404. • 调查结果：基本上每个系女生录取率都 高于或等于男生。 图解：只有两个系的简化情形 （非真实数据） • 假如只有数学 和金融两个 系，录取人数 都是50人。 • 数学系男生录 取率50%，女生 录取率60%； • 金融系男生录 取率5%，女生 录取率6%。 Jeon, J. W., Chung, H. Y., and Bae, J. S. (1987). Chances of Simpson’s Paradox. Journal of the Korean Statistical Society, 16, 117-125. 图解：更多系的情形（非真实数据） • 箭头越往 OFFER方 向，录取率 越高； • 每个系女生 （红）都比 男生（蓝） 录取率高； • 总的录取 率，男生大 于女生 Simpson佯谬告诉我们什么 • 只要对照组和实验组的组成结构不同， 效应就可能来自组成结构而不是实验处 理。 • 从统计的显著到因果的结论，中间有关 键的逻辑链条。绝大多数量化研究结果 都会在这个环节受到隐含的质问。 Regression Towards the Mean • 历史的误会：“回归＂(Regression) 与 趋中回归(Regression Towards the Mean) – F. Galton (1885演讲)--父代高度如果高于总体中 值，其子代高度倾向于比父代矮，偏向总体中值； – 类似地：某次考试平均分为75；得90分的学生群体 在另一次同难度考试的平均成绩将低于90分；得60 分的学生群体在另一次同难度考试中平均成绩将高 于60分。 遗传高度的均值为0； 上下代遗传高度不变； 简单地假定，有一半 （红条部分）运气好， 表现高度比遗传高度长 高了1个单位；另一半 （蓝条部分）运气差， 比遗传高度长矮了1个 单位。 然后我们看表现高度 为1的个体： 运气好的比运气 差的要多；运气好遗 传高