高等数学(同济5版)完整教案第八章 方向导数与梯度.ppt

* 方向导数与梯度 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 一、方向导数的定义 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 方向导数的几何意义 过直线 作平行于 z 轴的平面 与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C 表示C 的割线向量 即 即 割线转化为切线 上式极限存在就意味着当点 趋于点 曲线C在点 P0 有唯一的切线 它关于 方向的斜率 就是方向导数 L C M0 T P0 P M l 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 二、梯度的概念 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 梯度为等高线上的法向量 等高线 等高线的画法 例如, 梯度与等高线的关系： 此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。 梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 解 由梯度计算公式得 故 例5 求函数 沿曲线 在点 处 的内法线方向的方向导数 解一 用方向导数计算公式 即要求出从 x 轴正向沿逆时针 转到内法线方向的转角 在 两边对x 求导 *