高等数学教学教案§103 三重积分.doc

六六老师数学网专用资料： http://y66.80.hk qq：745924769 telPAGE §10.3 三重积分 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 5 页 §10.3 三重积分 授课次序63 教 学 基 本 指 标 教学课题 §10.3 三重积分 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 三重积分的概念与计算 教学难点 三重积分的计算 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 积分：integral；重积分：multiple integral ；二重积分：double integral； 三重积分：threefold integral； 课堂教学目标 理解三重积分的概念； 会计算三重积分（直角坐标系、柱面坐标、球面坐标）。 教学过程 1．三重积分的概念（10min）； 2．计算三重积分（直角坐标系）（35min） 3．计算三重积分（柱面坐标）（25min） 4．计算三重积分（球面坐标）（20min） 教 学 基 本 内 容 §10.3 三重积分 一、三重积分的概念 定义 设f(x, y, z)是空间有界闭区域?上的有界函数. 将?任意分成n个小闭区域 ?v1, ?v2, × × × , ?vn 其中?vi表示第i个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个?vi上任取一点(xi, hi, ?i), 作乘积f(x i, h i, ? i)?vi(i=1, 2, × × ×, n)并作和. 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域?上的三重积分, 记作. 即 . 三重积分中的有关术语: ——积分号, f(x, y, z)——被积函数, f(x, y, z)dv——被积表达式, dv体积元素, x, y, z——积分变量, ?——积分区域. 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分?, 则?vi=?xi ?yi?zi , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz, 三重积分记作. 当函数f (x, y, z)在闭区域?上连续时, 极限是存在的, 因此f(x, y, z)在?上的三重积分是存在的, 以后也总假定f(x, y, z)在闭区域?上是连续的. 三重积分的性质: 与二重积分类似. 比如 ; ; , 其中V为区域?的体积. 二、三重积分的计算 1? 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域?可表为 z1(x, y)?z?z2(x, y), y1(x)?y?y2(x), a?x?b, 则 , 即 . 其中D : y1(x)? y? y2(x), a?x?b. 它是闭区域?在xOy面上的投影区域. 基本思想: 对于平面区域D: y1(x)?y?y2(x), a?x?b内任意一点(x, y), 将f(x, y, z)只看作z的函数, 在区间[z1(x, y), z2(x, y)]上对z积分, 得到一个二元函数F(x, y), , 然后计算F(x, y)在闭区域D上的二重积分, 这就完成了f(x, y, z)在空间闭区域?上的三重积分. , 即 . 其中D : y1(x)? y? y2(x), a?x?b. 它是闭区域?在xOy面上的投影区域. 例1 计算三重积分, 其中?为三个坐标面 及平面x+2y+z=1所围成的闭区域. 解 作图, 区域?可表示为: 0?z?1-x-2y, , 0?x?1. 于是 . 讨论: 其它类型区域呢? 有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域?={(x, y, z)|(x, y)?Dz, c1? z?c2}, 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域?所得到的一个平面闭区域, 则有 . 例2 计算三重积分, 其中?是由椭球面所围成的空间闭区域. 解 空间区域?可表为: , -c? z?c. 于是 . 练习 1? 将三重积分化为三次积