高等数学教学教案§11 6 高斯公式 通量与散度.doc

六六老师数学网专用资料： http://y66.80.hk qq：745924769 telPAGE §10. 6 高斯公式 通量与散度 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 5 页 §11. 6 高斯公式 通量与散度 授课次序73 教 学 基 本 指 标 教学课题 §11. 6 高斯公式 通量与散度 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 高斯公式 教学难点 用高斯公式计算曲面积分 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 微分 ：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential ； 积分：integral；重积分：multiple integral；二重积分：double integral；三重积分：threefold integra 课堂教学目标 了解高斯公式、斯托克斯公式； 会用高斯公式计算曲面积分。 教学过程 1．高斯公式（35min）； 2．用高斯公式计算曲面积分（35min） 3．通量与散度的概念与计算（20min） 教 学 基 本 内 容 §10. 6 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数, 则有 , 或 , 简要证明 设W是一柱体, 上边界曲面为S1: z=z2(x, y), 下边界曲面为S2: z=z1(x, y), 侧面为柱面S3, S1取下侧, S2取上侧; S3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有 . 另一方面, 有 , , , 以上三式相加, 得 . 所以 .类似地有, , 把以上三式两端分别相加, 即得高斯公式. 例1 利用高斯公式计算曲面积分, 其中S为柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧. 解 例2 计算曲面积分, 其中S 为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h (h0)之间的部分的下侧, cosa、cosb、cosg是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 解 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域W上具有一阶及二阶连续偏导数, 证明 , 其中S是闭区域W的整个边界曲面, 为函数v(x, y, z)沿S的外法线方向的方向导数, 符号, 称为拉普拉斯算子. 这个公式叫做格林第一公式? 证: 二、通量与散度 高斯公式的物理意义: 将高斯公式 改写成 , 其中vn=v×n=Pcosa +Qcosb +Rcosg, n={cosa , cosb , cosg}是S在点(x, y, z)处的单位法向量. 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量, 左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量. 散度: 设W的体积为V, 由高斯公式得 , 其左端表示W内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 由积分中值定理得 . 令W缩向一点M(x, y, z)得 . 上式左端称为v在点M的散度, 记为divv, 即 . 其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量. 一般地, 设某向量场由 A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k 给出, 其中P, Q, R具有一阶连续偏导数, S是场内的一片有向曲面, n是S上点(x, y, z)处的单位法向量, 则叫做向量场A通过曲面S向着指定侧的通量(或流量), 而叫做向量场A的散度, 记作div A, 即 . 高斯公式的另一形式: , 或, 其中S是空间闭区域W的边界曲面, 而 An=A×n=Pcosa+Qcosb+Rcosg 是向量A在曲面S的外侧法向量上的投影. §10. 7 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 定理1 设G为分段光滑的空间有向闭曲线, S是以G为边界的分片光滑的有向曲面, G的正向与S 的侧符合右手