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截断误差可表示为 (5.7) Newton向后插值公式及Bessel?插值公式 ——参考文献 §5.4 Hermite插值简介 前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在结点取 相同值, Lagrange型插值条件 然而,实际许多问题还常常要求两曲线进一步有共同切线:插值条件为:求一次数 多项式 ,使之满足给定的Hermite型插值条件 (5.8) 求 不用待定系数法.可设 其中 ,且 ——插值基函数表示法 (5.9) (5.10) (5.11) 满足条件(5.10)和(5.11)的多项式(5.9) 一定满足(5.8),故即为所求 所以主要是求插值基函数 可借用Lagrange插值基函数 得公式 (5.37) ——有规律 余项 易验证: 例5.3 给定函数值表如下: 问题:结点增多,多项式次数增高,逼近精度越 好?未必!多结点高次插值往往在局部误 差更大——Runge现象。 实用:采用分段低次插值 有分段线形,分段二次插值等,几何上…… 5.5三次样条插值简介 分段插值法: 缺点:分段插值函数只能保证连续性, 不能保证光滑性。 折线代替曲线 分段插值可以得到整体连续函数,但在连 接点处一般不光滑,而Hermite插值虽然 在连节点处一阶光滑,但整体插值由于结 点多,次数高而有可能发生Runge现象。 2.三次样条插值 既想分段插值,又想在结点处保持光滑,甚至二阶光滑——三次样条。 希望: 样条来源: 定义:在[a,b]上取n+1个点 若函数S(x)满足: ——此时S(x)叫插值函数; (3) 在内结点或在整个区间上具二阶连续导数。 则称S(x)为y=f(x )的三次样条插值函数。 (2) 在每个小区间 上是三次多项式; 2 . 构造:有两种方法,导出三对角方程组,用追 赶法。 (1) 三次样条插值 分段线性插值的优点:计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现 缺点:它只能保证各小段曲线在连接点的连续性,却无法保证整条曲线的光滑性,这就不能满足某些工程技术的要求。 三次Hermit插值优点:有较好的光滑性,缺点:要求节点的一阶导数已知。 从20世纪60年代开始,首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法,既保留了分段低次插值多项式的各种优点,又提高了插值函数的光滑性。今天,样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支,在许多领域里得到越来越多广泛应用。 我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。 一、三次样条插值函数的定义: 给定区间 上的个节点 和这些点上的函数值 若 满足: (1) ; (2)在每个小区间 上至多是一个三次多项式; (3) 在 上连续。 则 称为函数 关于节点 的三次样条插值函数。 二、边界问题的提出与类型 单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数,条件(2)三次样条插值函数 是一个分段三次多项式,若用 表示它在第 i个子区间 上的表达式,则 形如: 其中有四个待定系数 ,子区间共有 n个,所以共有4n个待定系数。 由条件(3) 在 上连续,即它们在各个子区间上的连接点 上连续即可,共有4n-2个条件,即 共有3(n-1)+(n+1)=4n-2个条件,未知量的个数是 n个。这样需要加2个条件。 这两个条件通常在插值区间的边界点a,b处给出,称为边界条件。边界条件的类型很多,常见有: (1)给定一阶导数值 (2)给定一阶导数值 (特别地 时称为自然边界条件,满足自然边界条件的次样条插值函数称为自然样条插值函数) (3)当 是周期为b-a的函数时,
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