单调性与凸凹性.ppt

中值定理与导数的应用 第四节 一、单调性的判别法 单调区间求法 二、曲线凹凸的判定 曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法 四、小结 思考与练习 2. 曲线 * 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 定理 证 应用拉氏定理,得 例1 解 例2 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 例3 解 单调区间为 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 例4 解 单调区间为 例4 证 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 例5 例6 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 定理1 例7 解 注意到, 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 方法1: 注意: 例8 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例9 解 例10 例11 试确定 中 的值，使曲线在拐点处的 法线通过原点. 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用. 注意：定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 1. 可导函数单调性判别 在 I上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 应用：利用函数的凹凸性证明不等式. 曲线的弯曲方向——凹凸性; 思考题 解答 不能断定. 例 但 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． 解答 例 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 1. 设在 . 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 ; ; * *