反函数与隐函数的导函数.pdf

2.4反函數與隱函數的導函數 A: 反函數的導函數 首先我們來回顧有關於反函數的定義及一些性質. 定義:若兩函數f 和g 滿足下列條件 f g x  x 對於每一個在g 的定義域之點x    且 g f x  x 對於每一個在f 的定義域之點x .   則我們稱f 為g 的反函數或g為f 的反函數. 注意:(1) 函數f 的值域等於反函數f −1的定義域且函數f 的定義域等於反函數f −1的值域; (2) 反函數是唯一的. 例題19: 試驗證下列兩格函數互為反函數 3 x1 f x  2x − 1 , g x  3     2 證明因為 3 x  1 f g x  2 3 − 1    2 x  1  2 − 1 2  x 且 2x 3 − 1  1 g f x  3   2  x . 因此f 與g 互為反函數. Definition i A function f is increasing on I if for any x ,x ∈I , we have x x  1 2 1 2 implies f x f x .     1 2 ii A function f is decreasing on I if for any x ,x ∈I , we have x x   1 2 1 2 implies f x f x .     1 2 Theorem (Existence) i A function has an inverse if and only if it is one-to-one.  ii If f is strictly monotonic on its entire domain. t