单自由度模态分析理论.ppt

故 ； 令 和 于是 （1—25） 因此，在 对 的曲线图上，当 变化时，将画出半径为 ，圆心在 处的圆，如图(b)所示。 （2）、结构阻尼系统尼奎斯特位移导纳图 对于迟滞（结构）阻尼的情况，可从方程（1—9）得到略有差别的频响函数表达式： （1—26） 故 也就是说，对于一个有结构阻尼的单自由度系统来说，其位移导纳尼奎斯特图将是一个半径为 ，圆心在 见图(a) 的圆。 （见发的图表） 虽然没有得到象上述粘性阻尼那样的表达式，但可以看出： （1—27） 1.6 各种不同激励下频响函数的表达式 频响函数（或传递函数）反映系统输入、输出之间的关系，并表示系统的固有特性。它与激励力的形式与大小（限于线性范围以内）无关。但是在不同类型激励力的作用下，它的表达形式常不同。下面我们对正弦、周期、瞬态及随机等几种激励类型，确定频响函数的表达式。 一、简谐激励 对于线性时不变系统，在简谐激励力作用下，系统的运动为简谐运动，并且频率与力频率相同。 激励力为： 位移响应为： 式中， 及 分别为激励与响应的相位角； ， 为激励力与响应的复数幅值。 因此，位移频响函数（位移导纳）为： （1—28） 在实际工程结构分析与测量时，应变常常是十分重要而且易于测量的一个量。应变片作为一种传感器亦经常被采用，因为它的体积小、质量轻，对试件的约束小，而且可通过它测量应变，从而计算应力。此时，系统的输入为力，输出为应变，因此应变阻抗及导纳可分别表示为： 另外目前工程中还有应变导纳的概念，这对实际测量很有好处。 应变阻抗: ； 应变导纳: 式中~是对应物理量的傅立叶变换。 二、周期激励 周期激励力具有周期性，但不一定是正弦力，例如方波、锯齿波激励力等属于此类周期激励力。此时系统的频响函数不再具有如（2—14）式所示的简单形式。但是，众所周知，任何周期函数，总可以用傅立叶分析方法展开成一系列具有频率、幅值与相位的正弦级数。设激励力为 ， 则可写成 ， 这样，便可得到力函数的各个频率分量。 同理，对响应亦可写成 对周期函数而言，频响函数定义为各频率点上响应与激励力之复数幅值比， （1—29） 响应 与 激励的级数具有相同的离散频率，他们都等于 的整数倍。 式中 、 均包含幅值与相位两个成分。 1．1 引言 模态分析的理论基础是在机械阻抗与导纳的概念上发展起来的。虽然机械阻抗的概念早在20世纪30年代就已经形成，但发展成为今天这样较为完整的理论与方法，却经历了较长的岁月。近二十多年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数据处理数理统计以及自动控制理论中的有关“营养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理论，为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论基础。 1．2单自由度频响函数分析 单自由度系统是最基本的振动系统。虽然实际结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。由于他简单，因此常常作为振动分析的基础。从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。 下面我们分别对粘性阻尼和结构阻尼系统的频响函数理论进行讨论，并推导他们的表达式。 一、粘性阻尼系统 对粘性阻尼系统，假设其阻尼力与振动速度成正比，方向与速度相反，即 （1—1） 式中： 及 均为时间 的函数。 对于自由振动（ ），上式可以写为： 其解的形式为: 式中： 为复数； 为不依赖时间的量。 （1—3） 系统的力学模型如图所示。其振动运动方程为： （1—2） （1—4） 对（1—2）式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，可得 式中： 为拉氏变换因子； 为 的拉氏变换， 而 则为 的拉氏变换。 对自由振动而言，可得 由上式可解得 的两个根， 式中： ，系统的无阻尼固有频率； 为阻尼比。 为无量纲因子。一般钢结构属于小阻尼， 对 的阻尼称为欠阻尼。 （1—5） （1—6） （1—7） （1—8） 则模态解的形式为： 这是带复固有频率的振动单模态，可分为两部分： X0 t 衰减振荡周期 指数衰减 虚部(或振动部分)，频率为： 实部(或衰减部分)，阻尼比为： 前面的