a-1-纯弯曲正应力公式推导.pptVIP

* 纯弯曲正应力公式推导 一、变形几何关系 试件变形后 横线：保持为一条直线,与变形后的纵线正交，相对原来 位置转过一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短，下部纵线伸长。 x 平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 假设： 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。 中性层 中性轴：中性层与横截面的交线。 横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变形规律： O1 2 1 1 2 a b y O2 dx 取微段梁dx O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径 O1 a 2 1 1 2 b y O2 dq r dx dq r O1 a 2 1 1 2 b y O2 dx ab=O1O2 dx= O1 2 1 1 2 a b y O2 dx 变形前 变形后 O1O2=ρdθ a1b2=(ρ+y)dθ ab的纵向线应变 ε= ab-ab ab = (ρ+y)dθ -dx dx =O1O2 = (ρ+y)dθ - ρd θ ρd θ = y ρ xy平面变形特点 二、物理关系 胡克定律 σ=Eε =E y ρ 由此可见，横截面上的正应力分布为 中性轴 z 三、静力学关系 FN= σdA ∫ A z y y M z dA σdA = E ρ ∫ A =0 ydA ∫ A =0 ydA 得 M= σdA· y ∫ A = E ρ ∫ A y2dA = E ρ Iz 1 ρ = M E Iz 中性层曲率公式 EIz —— 梁的抗弯刚度 Iz My = s 正应力公式： 横截面对中性轴的面积矩为零，中性轴过形心。 正应力性质（正负号））确定： σ的符号可由M与y的符号确定，也可由弯曲变形情况确定。 Iz Mymax = smax Iz Wz = ymax 抗弯截面系数 令 得 Wz M = smax 最大正应力： Iz My = s