历年高考数学立体几何.doc

新课标第一网不用注册，免费下载！ 新课标第一网系列资料 数 学 G单元 立体几何 G1 空间几何体的结构 20．、、[2014·安徽卷] 如图1-5，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为 图1-5 (1)证明：Q为BB1的中点； (2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； (3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小． 20．解： (1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD， BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A， 所以平面QBC∥平面A1AD， 从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行， 即QC∥A1D. 故△QBC与△A1AD的对应边相互平行， 于是△QBC∽△A1AD， 所以eq \f(BQ,BB1)＝eq \f(BQ,AA1)＝eq \f(BC,AD)＝eq \f(1,2)，即Q为BB1的中点． (2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a 图1 V三棱锥Q -A1AD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)·2a·h·d＝eq \f(1,3)ahd， V四棱锥Q -ABCD＝eq \f(1,3)·eq \f(a＋2a,2)·d·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)h))＝eq \f(1,4)ahd， 所以V下＝V三棱锥Q -A1AD＋V四棱锥Q -ABCD＝eq \f(7,12)ahd. 又V四棱柱A1B1C1D1 -ABCD＝eq \f(3,2)ahd， 所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1 -ABCD－V下＝eq \f(3,2)ahd－eq \f(7,12)ahd＝eq \f(11,12)ahd，故eq \f(V上,V下)＝eq \f(11,7). (3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E. 又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A， 所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E. 所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角． 因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA. 又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2， 所以S△ADC＝4，AE＝4. 于是tan∠AEA1＝eq \f(AA1,AE)＝1，∠AEA1＝eq \f(π,4). 故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为eq \f(π,4). 方法二：如图2所示，以D为原点，DA，eq \o(DD1,\s\up6(→))分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系． 设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a 因为S四边形ABCD＝eq \f(a＋2a,2)·2sin θ＝6， 所以a＝eq \f(2,sin θ). 图2 从而可得C(2cos θ，2sin θ，0)，A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,sin θ)，0，4))， 所以DC＝(2cos θ，2sin θ，0)，eq \o(DA1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,sin θ)，0，4)). 设平面A1DC的法向量n＝(x，y，1)， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DA1,\s\up6(→))·n＝\f(4,sin θ) x＋4＝0，,\o(DC,\s\up6(→))·n＝2xcos θ＋2ysin θ＝0，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－sin θ，,y＝cos θ，)) 所以n＝(－sin θ，cos θ，1)． 又因为平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)， 所以cos〈n，m〉＝eq \f(n·m,|n||m|)＝eq \f(\r(2),2)， 故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为eq \f(π,4). 8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq \f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq \f(2,75)L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　) A.eq