2018年高考数学总复习 解三角形.docVIP

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PAGE 1 第四节 解三角形 考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 命题趋势探究 1.本节为高考的必考和重点考查内容,在选择题、填空题和解答题中都有出现,并越来越成为三角函数部分的核心考点. 2.题型有三:一是解三角形出现边角互化求角、求边;二是三角形形状判定;三是最值问题. 题型和分值较稳定,且有逐渐上升趋势,属中等难度. 知识点精讲 在中,角所对边依次为 1.角的关系 2.正弦定理 为的外接圆的直径).  正弦定理的应用: ①已知两角及一边求解三角形. ②已知两边及其中一边的对角,求另一对角: 若ab,已知角A求角B. 若a〉b,已知角A求角B,一解(锐角). 3.余弦定理 (已知两边a,b及夹角C求第三边c) (已知三边求角). 余弦定理的应用: ①已知两边及夹角求解第三边; ②已知三边求角; ③已知两边及一边对角不熟第三边. 4.三角形面积公式 题型归纳及思路提示 题型67 正弦定理的应用 思路提示 (1)已知两角及一边求解三角形; (2)已知两边一对角;. (3)两边一对角,求第三边. 一、利用正弦定理解三角形 例4.39 已知中,求及边长 分析 已知两角及一边用正弦定理. 解析 因为为的内角,所以有 因为且所以.由此知据正弦定理得所以因此且得 故因此 由正弦定理得得 评注 本题已知两角及一边,用正弦定理:在中, 变式1 在中,角所对边依次为 则角A的大小为      . 例4.40 在中,角所对边依次为记若函数是常数)只有一个零点,则实数的取值范围是(  ). 或      或 分析 三角形问题首先根据题意画出三角形,AC的最小值为BC边的垂线段,再根据零点的意义及函数求解. 解析 由且,得如图4-34所示,由知AC边和的最小值为唯一的符合即若则此时存在函数有唯一零点,若时,则此时以点A为圆心,b边为半径的圆与BC边及延长线有两个交点,如图4-34所示,则存在两个值使得有两个零点.若时,则则以点A为圆心,b边为半径的圆与BC边及延长线(除点B外)只有一个交点,使得,故函数有唯一零点.综上,实数k的取值范围为或故选D. 评注 三角形问题一般先根据题意作出图 形,抓住已知量,充分想到三角形的边角关系及正弦定理,并尽可能转化和构造 直角三角形. 变式1 (1)在中,已知角所对的边分别为且 如果三角形有解,则角A的取值范围是 ; (2) 在中,已知角所对的边分别为且如果三角形有解,则角B的取值范围是 ; (3)在中,已知角所对的边分别为且如果三角形有解,则角C的取值范围是 . 二、利用正弦定理进行边角转化 例4.41 在中,若A=2B,则的取值范围为( ). 分析 题中有边与角的关系及角的范围,可考虑用正弦定理转化为角的关系,再由角的范围来定边的范围. 解析 由正弦定理知且即得,因此所以 故选A. 评注 在中,利用正弦定理,进行边与角的转化,在条件中有边也有角时,一般考虑统一成边或角的形式,再由两角和与差的公式来求解. 变式1 (1)若在锐角中,若A=2B,则的取值范围为 ; (2)若在直角中,若A=2B,则的取值集合为 ; (3)若在钝角中,若A=2B,则的取值集合为 . 变式2 在中,,则AB+2BC的最大值为 . 变式3(2012课标全国理17)已知分别为三个内角的对边,, (1)求A;(2)若,的面积为,求. 变式4 (2012江西理17)在中,角的对边分别为已知, (1)求证:(2)若,求的面积. 题型68 余弦定理的应用 思路提示 (1)已知两边一夹角或两边及一对角,求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状,先求最大角的余弦值, 若余弦值 一、利用余弦定理解三角形 例4.42 在 中, ,则①a= . ② 分析 已知两边一对角,求第三边用余弦定理,求另一对角用正弦定理. 解析①由余弦定理得,,得 ,即 ,且 ,故 ②由正弦定理得,,即 ,得 ,又 ,则 变式1在 中, , (1)求的值;(2)求 的值. 变式2(2012北京理11)在 中,若,则 变式3(2012福建理13)已知的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为 . 例4.43 (2012陕西理9)在中,角所对边的长分别为若,则的最小值为( ). 解析 因为当且仅当时取“=”,所以的最小值为故选C. 变

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