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第四节变量间的相关关系与统计案例
教 材 面 面 观
基础知识常梳理 自主探究强记忆
1.相关关系:两个变量之间的关系可能是________(如:函数关系),或________.当自变量取值一定时,因变量也确定,则为________;当自变量取值一定时,因变量带有随机性,这种变量之间的关系称为________.相关关系是一种________.
答案 确定性关系 非确定性关系 确定性关系 相关关系 非确定性关系
2.回归分析:对具有________的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析,实际上就是寻找________中不确定关系的某种确定性.
回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有________,这条直线叫做回归直线.
答案 相关关系 相关关系 线性相关关系
3.回归直线方程:设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近,就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型:eq \o(y,\s\up6(^))=eq \o(b,\s\up6(^))x+eq \o(a,\s\up6(^)).其中
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))=\f(\i\su(i=1,n, )?xi-\o(x,\s\up6(-))??yi-\o(y,\s\up6(-))?,\i\su(i=1,n, )?xi-\o(x,\s\up6(-))?2)= ,,\o(a,\s\up6(^))= ))
我们称这个方程为y对x的回归直线方程.
其中eq \o(x,\s\up6(-))=________,eq \o(y,\s\up6(-))=________,________称为样本点的中心.
答案 eq \f(\i\su(i=1,n,x)iyi-n\o(x,\s\up6(-))\o(y,\s\up6(-)),\i\su(i=1,n,x)i2-n\o(x,\s\up6(-))2) eq \o(y,\s\up6(-))-eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(-)) eq \f(1,n)eq \i\su(i=1,n,x)i eq \f(1,n)eq \i\su(i=1,n,y)i (eq \o(x,\s\up6(-)),eq \o(y,\s\up6(-)))
考 点 串 串 讲
考点归纳与解析 思维拓展与迁移
1.变量之间的两种关系
(1)函数关系
函数关系是确定性的关系,变量之间的关系可以用函数表示,例如:圆的面积S与半径长r之间就是确定性关系,可以用函数S=πr2表示.
(2)相关关系
相关关系是变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达,例如,人的体重y与身高x有关.一般来说,身体越高体重越重,但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.
(3)相关关系与函数关系的异同点
异同点/关系
函数关系
相关关系
相同点
两者均是指两个变量之间的关系
不同点
是一种确定性关系
是一种非确定性关系
是两个可控变量之间的关系
①一个为可控变量,另一个为随机变量;②两个都是随机变量
是一种因果关系
不一定是因果关系,也可能是伴随关系
是一种理想关系模型
是更为一般的情况
2.散点图
(1)散点图定义
将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中,以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.
(2)利用散点图可以判断变量之间有无相关关系
利用散点图可以作出如下判断:
①如果所有样本点都落在某一函数图象上,那么变量之间具有函数关系,就用该函数来描述它们之间的关系.
②如果所有样本点都落在某一函数图象附近,那么变量之间具有相关关系.
③如果所有样本点都落在某一直线附近,那么变量之间具有线性相关关系.
(3)正相关、负相关
如果散点图中点散布的位置是从左下角到右上角的区域,即一个变量由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.如年龄由小变大时(一定范围内),体内脂肪含量也在由小变大.
反之,如果散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一变量的值由大变小,这种相关称为负相关.
(4)散点图和回归直线的画法
①建立直角坐标系,两轴的长度单位可以不一致.
②将n个数据点(xi,yi)(n=1,2,3,…,n)描在平面直角坐标系中.
③描的点可以是实心点,也可以是空心点.
④画回归直线时,一定要画在多数点经过的区域,实际画线时,先观察有哪两个点在直线上.
⑤具体作回归直线时,用一条透明的直尺边缘在这些点间移动,使它尽量靠近或通过大多数点,然后画出直线.
3.线性回归直线
(1)线性回归方程、直线
一般地,设有(x,y)的n
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