证明当非线性系统的李雅普诺夫函数为.ppt

李雅普诺夫稳定性分析 指导教师：李传东 学生姓名：陈继阳 学号 ：112015333002113 目录(1/1) 目 录 概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题 本章小结 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4) 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得多。 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4) 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4) 对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的Lyapunov函数。如, 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩阵法) 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4) 由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的所讨论的平衡态移至原点。 在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡态的范围。 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法 变量梯度法 阿依捷尔曼法 克拉索夫斯基法(1/7) 5.4.1 克拉索夫斯基法 设非线性定常连续系统的状态方程为 对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯基定理。 克拉索夫斯基法(2/7) 定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充分条件为 为负定的矩阵函数,且 为该系统的一个李雅普诺夫函数。 更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围渐近稳定的。 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为 则其导数为 克拉索夫斯基法(3/7) 由于 为系统的一个李雅普诺夫函数,即 正定。 因此,若 负定,则 必为负定。 所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳定的。 ??? 克拉索夫斯基法(4/7) 在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统 由于 不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的。 可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。 克拉索夫斯基法(5/7) 若V(x)=f?(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定的条件是J(x)+J?(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称矩阵A+A?负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。 克拉索夫斯基法(6/7) 例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的