初中数学总复习《动态几何之存在性问题探讨》教师版 讲义.docVIP

今 天 多 几 分 钟 的 努 力 ， 明 天 多 几 小 时 的 快 乐 ！ 何 乐 而 不 为 ！ PAGE PAGE 1 教 师 辅 导 讲 义 学员姓名： 辅导课目：数学 年级：九年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段 课 题 初中数学总复习——动态几何——存在性问题探讨 学习目标 教学内容 初中数学总复习——动态几何——存在性问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。 结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。 【一、等腰（边）三角形存在问题：】 例1、（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3）， 且抛物线与y轴交于点B（0，2）. （1）求该抛物线的解析式； （2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标. 解：（1）∵ 抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为。 由题意得 ，解得。 ∴ 物线的解析式为，即。 （2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则PA=，PB=，AB= 当PA=PB时，=，解得； 当PA=PB时，=5，方程无实数解； 当PB=AB时，=5，解得。 ∴ x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（－1,0）或（1,0）。 （3）∵ PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P 是直线AB与x轴的交点。 设直线AB的解析式为， 则， 解得。 ∴ 直线AB的解析式为， 当=0时，解得。 ∴ 当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）。 例2、（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。 ∵ ∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。 又∵ OA=OB=4， ∴ OC=OB=×4=2， BC=OB?sin60°=。 ∴ 点B的坐标为（﹣2，﹣）。 （2）∵ 抛物线过原点O和点A．B， ∴ 可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入， 得， 解得。 ∴ 此抛物线的解析式为。 （3）存在。如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。 ① 若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y = ±， 当y =时， 在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=， ∴ ∠POD=60° ∴ ∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。 ∴ y =不符合题意，舍去。 ∴ 点P的坐标为（2，﹣）。 ② 若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y =﹣。 ∴ 点P的坐标为（2，﹣）。 ③ 若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y =﹣。 ∴ 点P的坐标为（2，