大数定律与中心极限定理-白城师范学院.ppt

第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1 特征函数 §4.2 大数定律 §4.3 随机变量序列的两种收敛性 §4.4 中心极限定理 §4.1 特征函数 特征函数是处理概率论问题的有力工具， 其作用在于： 4.1.1 特征函数的定义 定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称 ?(t) = E( eitX ) 为 X 的特征函数. (必定存在) 注 意 点(1) 注 意 点(2) 特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： 4.1.2 特征函数的性质 性质4.1.1 特征函数的定理 定理4.1.1 §4.2 大数定律 4.2.1 伯努利大数定律 4.2.2 常用的几个大数定律 切比雪夫大数定律 马尔可夫大数定律 辛钦大数定律 注 意 点 (1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例. §4.3 随机变量序列的两种收敛性 4.3.1 依概率收敛 依概率收敛的性质 4.3.2 按分布收敛、弱收敛 依概率收敛与按分布收敛的关系 4.3.3 判断弱收敛的方法 辛钦大数定律的证明思路 §4.4 中心极限定理 4.4.2 独立同分布下的中心极限定理 4.4.3 二项分布的正态近似 注 意 点 (1) 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正： 注 意 点 (2) 中心极限定理的应用有三大类： 一、给定 n 和 y，求概率 二、给定 n 和概率，求 y 三、给定 y 和概率，求 n 4.4.4 独立不同分布下的中心极限定理 李雅普诺夫中心极限定理 例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率. 解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01) ＝0.17635 (2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 X 5.5) = 0.1742 定理4.4.3 林德贝格中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 ? 0，有 林德贝格条件 则 定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若存在 ? 0，满足： 李雅普诺夫条件 则 林德贝格条件较难验证. 例4.4.7 设 X1, X2 , …. , X99相互独立, 且服从不同的 0--1分布 试求 解: 设 X100, X101, ….相互独立, 且与X99同分布, 则可以验证{Xn}满足? =1的李雅普诺夫条件，且 由此得 第四章 大数定律与中心极限定理 白城师范学院 * 第*页 可将卷积运算化成乘法运算； 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题； ………. 注意： 是虚数单位. (1) 当X为离散随机变量时， (2) 当X为连续随机变量时， 这是 p(x) 的傅里叶变换 (1) 欧拉公式： (2) 复数的共轭： (3) 复数的模： |?(t)| ? ?(0)=1 性质4.1.2 性质4.1.3 性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则 性质4.1.5 一致连续性. 定理4.1.2 定理4.1.3 定理4.1.4 唯一性. 定理4.1.5 非负定性. 逆转公式. 连续场合， 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律. 定理4.2.1（伯努利大数定律） 设 ?n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 ? 0，有 大数定律一般形式： 若随机变量序列{Xn}满足： 则称{Xn} 服从大数定律. 定理4.2.2 {Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式. 定理4.2.3 若随机变量序列{Xn}满足： 则 {Xn}服从大数定律. (马尔可夫条件) 定理4.2.4 若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 {Xn}服从大数定律. (2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例. (3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例. 两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理. 定义4.3.1 (依概率收敛) 大数定律讨论的就是依概率收敛