三角形辅助线总结及口诀.docVIP

PAGE PAGE 2 三角形作辅助性方法大全 口诀： 总则：{3}标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开。 {3}1、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线。 等腰顶角是腰高和底夹角二倍，等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形，原顶角是新底角的二倍，新底边垂直原底边。 {4}2、求角大小，需构造出有数值的角；两角做比较，连点延边构三角，大外小内找中介；相等角，等腰、对顶、平行、同余和同补；给出二倍角，构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以。 {3}3、两线做比较，截长补短可求证。特殊角求三边，带平方都要用直角三角形。三角形内构四边，四边周长小于三角形周长；。 {3}4、角分线，到边距离相等经常用，也可两边截等段；三角形相邻外交角角分线交点到两边距离相等，三角形内角平分线交予一点，且到三边距离相等。平行线间角分线的交点一定是中点(见后) {2}5、中线，倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段； {1}6垂分线上点连线段端点有帮助； {3} 7、多边变身三角形，延两边、连对角、连顶点； 如图，AE\AD是角分线，AB//DC.E一定是bc中点 Bc为任意线段 一、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 1、三线合一 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：DE = DF 证明：连结AD. ∵D为BC中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC 2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E， ∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF和△ECF中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF （证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略） 引入：如图是一个等边三角形木框,甲虫在边框上爬行(,端点除外),设甲虫到另外两边的距离之和为,等边三角形的高为,则与的大小关系是( )A、d＞hB、d＜hC、d＝hD、无法确定 三种方法 1.过点P做底边的平行线 利用等边三角形三条高相等 2.连接B、P，将大三角形转换为两个小三角形，并利用三角形面积公式。 3.考试中规范画图量出答案注意取整值 3、常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形等边三角形 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数. 解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE 则∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC ∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE ∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80o －60o = 20o ∴∠ACE = (180o－∠EAC)= 80o ∵∠ACB= (180o－∠BAC)= 50o ∴∠BCE =∠ACE－∠ACB = 80o－50o = 30o ∵∠PCB = 30o ∴∠PCB = ∠BCE ∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o ∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC和△EBC中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC ∠PCB = ∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB = (180o－∠ABP)= 70o 解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则 EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC ∴E在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上 ∴EA所在的直线是BC的中垂线 ∴EA⊥BC ∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB 由解法一知：∠ABC = 50o ∴∠ABE = ∠EBC－