黑龙江八一农垦大学 高数 教案.docVIP

教 案 课程: 高 等 数 学 学时: 24 班级: 教师: 黑龙江八一农垦大学 第 1 次课 课 目 §7.1空间直角坐标系 §7.2向量及其运算 课　时 2 目 的 要 求 掌握空间直角坐标系的建立方法 掌握向量之间的加减法、向量与数的乘法运算 重 点 难 点 空间两点的距离、向量的概念 两向量平行的判定定理 教 学 组 织 用平面直角坐标引入空间直角坐标的建立，进而给出空间点的坐标，向量坐标，然后给出向量的坐标运算等。 主要内容、教学方法、时间分配 注 释 §7.1空间直角坐标系 空间直角坐标系(讲授法 30分) 空间直角坐标系： 定义：在空间中，有公共的原点、相同的长度单位、 互相垂直且符合右手规则的三条坐标轴就构成 了空间直角坐标系。 坐标面、卦限 Xoy面，yoz面，zox 面 第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ， Ⅷ卦限。 3、空间点的坐标 P:x Q:y R:z M 简单的介绍 一下坐标面上，坐标轴 上坐标的特性。 空间两点间的距离(推证法、讲授法 20分) 设则 特殊地，点与原点的距离 例１　设有三点、、，求证是等腰三角形。 例２　设有两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2），在轴上求与和等距离的点。 §7.2 向量及其运算 向量的概念(讲授法 10分) 向量、向径、自由向量、向量相等、向量的模、单位向量、零向量、向量 平行 向量的加减法(讲授法 10分) 加法 运算律：交换律：； 结合律： 加法推广 负向量：设为一向量，与的模相同但方向相反的向量叫做的负向量，记作，由此我们规定两个向量与的差为　。 三角不等式：及 三、向量与数的乘法(讲授法 推证法 30分) 1、定义：向量与实数的乘积记作，规定是一个向量，它的模为，它的方向当时与相同，当时与相反。当时，，即为零向量，这时它的方向可以是任意的。 数与向量的乘积具有下列运算律： 结合律：； 分配律：；。 由于向量与平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系。 2、定理　设向量，那么向量平行于向量的充分必要条件是存在唯一的实数，使。 3、单位向量与向量之间的关系： 例1　在平行四边形中，设=，=，试用和表示向量，这里M是平行四边形对角线的交点。 作业： 第 2次课 课 目 §7.3向量的坐标 §7.4数量积、向量积 课　时 2 目 的 要 求 1、掌握向量在轴上的投影概念及其性质 2、掌握向量的分向量、向量的坐标 3、掌握数量积、向量积的定义 重 点 难 点 向量的模与方向余弦的坐标表达式 数量积、向量积的性质及其运算律 教 学 组 织 在点的投影的基础上，逐步给出分向量、向量的坐标的概念。重点讲解数量积与向量积的性质及其运算。 主要内容、教学方法、时间分配 注 释 §7.3向量的坐标 一、向量在坐标轴上分向量与向量的坐标(讲授法 10分) 分向量、基本单位向量，向量按基本单位的分解式。 ，，所以有 或 设，，则 或 根据向量的数乘运算可知，若向量且与平行，则，用坐标表示为 这就相当于向量与对应的坐标成比例： 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式(讲授法 10分) 非零向量的方向角。 、及 ，， 与向量同方向的单位向量为： §7.4数量积、向量积 两向量的数量积(讲授法 推证法 25分) 数量积：两个向量和的模与它们的夹角（）的余弦的乘积 叫做两个向量与的数量积，记作，即　。 性质：（１） (2) 对于两个向量、，如果，那么，反之如果，那么。 运算律：交换律　； 结合律　； 分配律　 例1 试用向量证明三角形的余弦定理。 设向量，，则 两向量的数量积的表达式：。 这说明，两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积之和。 由于，故对两个非零向量和，它们之间夹角余弦的计算公式为 例2　已知三点、和，求。 两向量的向量积(讲授法 推证法 25分) 向量积：两个向量与的向量积是一个向量，它的模为　（其 中是与的夹角）它的方向垂直于和所决定的平面（既垂直于又垂直于），其指向按右手法则从转向来确定，记为。 性质：（1） （２）两个向量平行的充分必要条件是它们的向量积为零向量。 运算律：（１）； （２）结合律　（是数）； （３）分配律　 两向量的向量积的表达式 。 为了便于记忆，可将与的向量积写成如下行列式的形式 设 例5　已知三角形的顶点分别为，、，求三角形的面积。 作业：