z变换与拉氏变换的关系.pptVIP

§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系 一．z平面与s平面的映射关系 s~z平面映射关系 二．z变换与拉氏变换表达式之对应 注意跳变值 例8-6-1 例8-6-2 一．z平面与s平面的映射关系 二．z变换与拉氏变换表达式之对应 返回 至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 相转化。 在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。 代入 比较 在引入z变换的定义时，引入符号z=esT s(直角坐标): s=s+jw s O jw jw0 0 s s jw + = s s 平面 式中T是序列的时间间隔，重复频率ws=2p/ T 幅角:q =wT=2p 半径：r = es T= 所以 这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部s ； z的幅角q仅对应于s的虚部w 。 （1）s平面的原点 ， s = 0 w = 0 r = 1 q = 0 z平面 ，即z=1。 s平面(s=s +jw ) z平面(z= rejq ) 原点 (s = 0,w = 0) o jw s z=1 o jImz Rez 1 （2）s平面上的虚轴（s =0，s =jw）映射到z平面是单位圆； s平面的左半平面（s 0）映射到z平面是单位圆的圆内； s平面的右半平面（s 0）映射到z平面是单位圆的圆外； 平行于虚轴的直线（s =常数）映射到z平面是圆。 s平面(s=s +jw ) z平面(z= rejq ) 虚轴 (s =0, s=jw) 0 jw s 单位圆 （r=1,q 任意） jImz Rez 0 1 左半平面 （s 0） 单位圆内 （r1,q 任意） 0 jw s jImz Rez 0 1 右半平面 （s 0） 单位圆外 （r1,q 任意） 0 1 Rez jImz 平行于虚轴 的直线 （s = 常数: - ￥ ? +￥ ） 圆 （ s 0 ，r1 s 0 ，r1 r为常数:0?+￥ q 任意） 0 jw s 0 jw s Rez jImz 0 （3）s平面上的实轴（w =0，s =s ）映射到z平面是正实轴； 平行于实轴的直线（w =常数）映射到z平面是始于原点的 辐射线； 通过jkws/2(k= +1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z平面 是负实轴。 s平面(s=s +jw ) z平面(z= rejq ) 实轴 (w =0, s= s) 0 jw s 正实轴 （q =0， r任意） jImz Rez 0 平行于实轴 的直线 （w =常数） 始于原点的 辐射线 （q =常数， r任意） 0 jw s -jw2 jw1 jImz Rez 0 w1T -w2T 通过+ jkws/2 平行于实轴 的直线 （k=1,3...） 负实轴 （q =p， r任意） jImz Rez 0 0 jw s jws/2 -jws/2 （4）由于z=rejq是q=wT的周期函数，因此当w 由-p/T~ p/T时， q由-p~ p， 幅度旋转了一周，映射到了整个z平面。 因此w 每增加一个w s=2p/T，q就相应增加2p，也就重复 旋转一周，z平面就重叠一次。 所以，z~s映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。 0 1 Rez jImz 0 jw s ws/2 -ws/2 0 jw s ws/2 -ws/2 1 Rez jImz 0 0 jw s ws/2 -ws/2 Rez jImz 1 0 jw s 0 -ws/2 ws/2 Rez jImz 1 0 jw s -ws/2 ws/2 0 Rez jImz 1 0 掌握了s~z平面映射规律之后，容易利用类似在连续时间 系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z平面特性与系统 时域特性、频响特性以及稳定性的关系。 返回 我们知道： 当把x(t)以等间隔T抽样后： 其z变换为： 此式的收敛条件是：|z||esT|，当符合这一条件时 这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的 离散序列z变换式的关系式。 该积分式当然也可以用留数定理来计算。即： X(s)的诸极点 例如：当X(s)有一单阶极点s1时