概率统计简明教程（同济版）课件第7章.ppt

作业 P93－P94 习题七 1、3、7、 泊松分布的方差 方差和期望值相等？！ 分布律 方差 正态分布的方差 密度函数 方差 方差的性质 . C 为常数 . 特别地，若X ,Y 相互独立，则 . 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 注意到， 例2 设X ~ B( n , p)，求D(X ). 解 引入随机变量 相互独立， 故 二项分布的方差 P 0 1 1-p p 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? 分布 方差 概率密度 N(?,? 2) 例 已知 X 的 密度函数为 其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5. 求 A ,B. (2) 设 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ) 解 (1) (2) 第三节 协方差和相关系数 对多维随机变量，随机变量的期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映出随机变量之间的关系。本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间相互依赖关系的一个重要特征。 在证明方差的性质时，我们得到，当X与Y相互独立时，有： 反之说明，当 ， X与Y一定不相互独立。 这说明，量 在一定程度上反映了随机变量X与Y之间的关系。 称 为 X ,Y 的协方差. 记为 定义 利用数学期望的性质，可将协方差的计算简化： 特别地，当X与Y相互独立时，有 。 注：当X与Y不相互独立时，也有可能 。 例(课本) 设 ~ 显然X与Y不相互独立。 意义： 协方差可以帮助我们了解两个变量之间的关系。 如果X取值比较大时(如X大于其期望E(X))，Y也取值比较大(也大于它的期望E(Y)),这时cov(X,Y)0； 如果X取值比较小时(如X小于E(X))，Y也取值比较小(也小于E(Y)),这时也有cov(X,Y)0。 可见正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或较小值。 反过来，负的协方差反映了两个随机变量有相反方向的变化趋势。 性质 第五节 中心极限定理 定 理 一 林德伯格-列维中心极限定理 [ 独立同分布的中心极限定理 ] 定 理 二 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ] (Lindberg-levi) (De Moivre-Laplace) 前面学习正态分布时提到，若随机变量X受众多相互独立随机因素影响，每一因素的影响都是微小的，且这些正、负影响可以叠加，那么这样的随机变量X接近正态分布。 若将各因素作用用 表示，那么 ，X将 服从或近似服从正态分布。如何从理论上、数学上给予解释？由此引发中心极限定理的研究。 粗略地说，所谓中心极限定理就是讨论在什么条件下，独立随机变量之和的分布可用正态分布近似。 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 独立同一分布, 且有期望和方差： 则对于任意实数 x , 定理 1 注 即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数 记 近似 近似服从 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X ， 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从 或近似服从正态分布. (即这些因素的叠加)的结果. * 第七章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 重点 理解数学期望的概念，掌握它的性质与计算 了解二项分布、泊松分布、正态分布等的数学期望 数学期望这个名词由赌博而来。甲乙两人赌技相同，各出赌金100元，约定先胜三局者为胜，取得全部200元。现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止，问赌本该如何分？ 若继续赌下去而不中止，则甲有3/4的机会(概率)取胜，而乙胜的机会为1/4。所以，在甲胜2局乙胜1局这个情况下，甲能“期望”得到的数目，为： 乙能“期望”得到的数目为： 若引入一个随机变量X，X等于在上述局面之下继续赌下去甲的最终所得，那么甲的“期望”所得，等于 “X的可能值与其概率之积的累加”