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P. PAGE 6 天水圍循道衛理中學 中四數學科 續二次方程 姓名: 班別: 號數: 日期: 2.3 根和係數的關係 A. 根的特性 看看求根公式二次方程: 根式下的數式,我們會用?(讀作delta)去代表 : 即 ? = 情況1) 當 ? 0, 或 該方程有 　個 的實數根． 情況2) 當 ? = 0, = 該方程有 　個 的實數根． 情況3) 當 ? 0, 或 (P 是一個正數) 該方程 實數根． 我們稱　?　為二次方程的判別式． B. 根的特性 與 二次圖像中x軸截距的關係 y = ax2 + bx + c 可以圖像顯示，而它圖像可以有三種與x相交可能性： 情況一：（? 0） 情況二：（? = 0） 情況三：（? 0） ax2 + bx + c=0 根的數目 xyOxy x y O x y O x y O 　　　　　實根 　　　　　實根 y =ax2 + bx + c 的圖像 x軸截距的數目 　　　　　x軸截距 　　　　　x軸截距 　　　　　x軸截距 例九 如　x2 ? 2(p + 3 )x + 4 = 0 有相同的實根，求p的值。 解: 因這公式有相同的實根，所以 ? ,即 這裡公式中的a = ，b = ，c = [ ]2 ? 4 ( )( ) = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ? p = ( ) 或 ( ) 例十 如　x2 ? 3x + (k + 1) = 0 有實根，求k的最大值。 解: 因這公式有實根，所以 ? 或? ,即 這裡公式中的a = ，b = ，c = ? k的最大值是 ?天水圍循道衛理中學 ? 中四數學科 續二次方程 姓名: 班別: 號數: 日期: C. 兩根的和與兩根的積 我們將二次方程ax2 + bx + c = 0的兩個根記為 ? 和 ? ，即： ? = 和 ? = 兩根的和 = ? + ? = = = 兩根的積 = ? ? = = = = 所以, 若? 和 ?是二次方程ax2 + bx + c = 0的兩個根，則 兩根的和 = ? + ? = 和 兩根的積 = ? ? = 例十一 如方程　2x2 ? kx – 3 = 0 的其中一個根是?3，求另一個根和k的值。 解: 設? 和 ?為方程的兩個根，其中 ? = ?3 ?例十二 如方程　x2 ? kx + 8 = 0 的其中一個根是另一個根的兩倍，求k的值。 ? 解: 設? 和 ?為方程的兩個根，其中 ? = ??. 兩根的和 = ? + ? = 兩根的積 = ? ? = 例十三 如? 和 ?是方程　x2 ? 6x + 5 = 0 的兩個根，求下列各式的值： (a) (b) ?2 + ?2 解: 兩根的和 = ? + ? = 兩根的積 = ? ? = (a) = ?注意和 = (b) ?2 + ?2 = ?注意 = = = 例十四 如? 和 ?是方程　2x2 ? 5x + 1 = 0 的兩個根，求下列各式的值： (a) (b) 解: 兩根的和 = ? + ? = 兩根的積 = ? ? = (a) = = = (b) = = = ?天水圍循道衛理中學 ? 中四數學科 續二次方程 姓名: 班別: 號數: 日期: D. 利用已知的根設立二次方程 如二次方程的兩個根記為 ? 和 ? ，那麼該二次方程可寫成 (x ? ?)(x ? ?) = 0. 展開這方程： (x ? ?)(x ? ?) = 0 　 = 0 　 = 0 即這二次方程可寫成： x2 – ( )x + ( ) = 0 兩根的 　　兩根的 所以，只要我們求得兩根的和及兩根的積，我們便可以設立該二