微积分总复习.ppt

总 复 习 第一章 函数、图形和极限 一、函数的基本知识（§1.1~§1.4） §1.1 求函数的定义域 (Natural Domain) 函数的定义及其三要素 求函数值（分段函数的函数值） 求复合函数 (box method) （常见：多项式函数、有理函数、一些经济函数） 常见：分母≠0 偶次开方的被开方数 ≥ 0 对数的真数0 §1.2 描点作图 截点 ——x intercepts —— y intercept（最多一个）:（0，f(0)） 函数图形的交点(interception) 垂直线检测 (The Vertical Line Test) 二次函数y =Ax+Bx+C (A≠0)作图: 抛物线的关键点: 1个顶点 1个y截点, x截点(可能没有) § 1.3 线性函数 Linear Function 求直线方程 斜截式 (Slope-Intercept Form) 点斜式 (Point-Slope Form) § 1.4 函数建模的步骤 保本分析 (Break-Even Analysis) ( P54：例6， P59：36) ( P41：34，36，40) 二、函数的极限 Limits（§1.5~ §1.6） 1. 按定义直观地求函数的极限 双边极限 单边极限 (P87：3, 4; P88：16 等) 2. 极限法则 (Rules for limits) 和、差、积、商、幂法则 注意：(1) 幂法则对幂指数为任意实数都成立。特别有 (2) 商法则成立的条件？ 要求掌握多项式函数和有理函数求极限 极限直观定义：如何解释？ 3. 型极限的求法 约公因式法（P75：24） 根式有理化法（P88：14） 4. 型极限的求法 同除法（P75：32,34,36） 三、函数的连续性（ § 1.6） 多项式函数和有理函数都在其定义域内处处连续 有理函数在使分母为0处不连续 分段函数在分段点也可能不连续（需由函数在分段点的左右极限判定） 一些不连续的情况： 闭区间上连续函数的性质：介值性（P86）和最值性（P249） 可导与连续的关系： ( P88：38,41； P90： 56) （思考：图形上找不可导点？） 第二章 微分法的基本概念 一、导数的概念 二、求导法则 (Rules for Derivatives) 1. 和、差、积、商、幂法则 2. 链法则 链法则的特殊情况： 三、隐函数求导法 第三章 导数的另一些的应用 一、函数作图（3.1 ~ 3.3） 3.1 用一阶导数f ′(x)确定f (x)的增减区间及极点 极点的可能范围： f ′(x) = 0 或 f ′(x) 不存在的点 (称临界点) 增减的判定： 画箭号图 （反之不成立） ( P181：16,18,20) 3.2 用二阶导数f ′′(x)确定f (x)的凹向区间及拐点 凹向的判定： （反之不成立） 拐点的可能范围： f ′′(x) = 0 或 f ′′(x) 不存在的点 画凹向图 ( P228：14. 作者解答图形有错 ) 3.3 函数作图步骤 1. 求定义域 2. 求截点 （注意：y 截点最多一个） 3. 求渐近线 （注意：渐近线用虚线表示，图形不能交垂直渐近线） 4. 求f ′(x)→f (x)的增减区间和极点（画箭号图） 5. 求f ′′(x)→f (x)的凹向区间和拐点（画凹向图） 6. 描点、画渐近线、连线成图 注意：1）曲线在函数可导处不能有尖角 2）标出关键点的坐标 3）曲线在一阶导数等于零处画出水平切线 ( P244：14, 44) 二、最优化问题（3.4 ~ 3.5） 3.4 函数最值理论 闭区间上连续函数最值（必存在）的求法 一般区间上连续函数在只有一个临界点时最值（若存在） 的求法（转化为极值的判定）；而一般情况下，需具体分 析函数的增减区间而定。 3.5 最优化应用题 ( P250： 例1；P261：2； P279：11,12) 函数最值概念及其与极值的关系